Tipos de números (1)

Muy buenas,

Por diversos motivos llevaba dos días sin escribir, y ya extrañaba esto. Durante los próximos días no sé cuánto podré escribir, así que hoy haré una entrada larga. De todas formas, pondré tanto la solución como el problema de la próxima semana, pero no sé si tendré tiempo para otras entradas.

Hoy hablaré de los números que tienen algún nombre especial. De hecho, hoy me centraré en números con algún nombre característico (por ejemplo, números primos), y para una entrada de más adelante hablaré de números con autor propio (por ejemplo, números de Carmichael).

En primer lugar, conviene recordar que los números están clasificados de la siguiente manera:

  • Naturales: 1, 2, 3, 4, 5… Se representa con una \mathbb{N}
  • Enteros: Lo mismo pero con los negativos y el 0: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Este conjunto se representa con \mathbb{Z}
  • Racionales: Todas las fracciones, y todos los decimales periódicos. Se representa con una \mathbb{Q}
  • Irracionales: Son aquellos que no son racionales, por ejemplo \pi, \sqrt{2}, \dots
  • Reales: Son el conjunto de los racionales y los irracionales. Se representa con \mathbb{R}
  • Imaginarios: Son las raíces cuadradas negativas. Por ejemplo, i=\sqrt{-1}
  • Complejos: Son los formados por una parte real y una imaginaria. Por ejemplo, 2+3i. Se representa con \mathbb{C}

Gráficamente, tendríamos el siguiente esquema:

Partiendo de esta base, vamos a hablar de tipos de números más curiosos:

  • Números primos: Son aquellos números naturales (salvo que se diga lo contrario, a continuación serán siempre números naturales) tales que sólo son divisibles entre 1 y entre ellos mismos. Por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 11, 13…
  • Números compuestos: Aquellos números que no son primos.
  • Número perfecto: Es aquel que la suma de todos sus divisores (excepto él mismo), da el mismo número. Por ejemplo, el 6 y el 28 lo son porque 6=1+2+3 y 28=1+2+4+7+14. Los siguientes números prefectos son el 496, el 8128 y el quinto ya es el 33.550.336. Actualmente sólo se conocen 37 números perfectos. El mayor de ellos es el 2^{3021376} \cdot (2^{3021377} -1)
  • Números casi perfectos: Igual que antes, pero la suma da uno menos. Por ejemplo, el 16, ya que 1+2+4+8=15
  • Números amigos: Son parejas de números tales que la suma de los divisores de uno da el otro, y viceversa. Los más conocidos son el 284 y el 220, ya que los divisores de 284: 1+2+4+71+142=220, y los divisores de 220: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
  • Números sociables: Lo mismo de antes, pero en vez de ser en parejas, es en grupos más grandes. Se suelen poner en secuencia, y la suma de los divisores del primero dan el segundo, los del segundo el tercero, y así hasta volver al primero. Por ejemplo, son números sociables el conjunto formado por 1264460, 1547860, 1727636, 1305184.
  • Números triangulares: Son aquellos con los que, teniendo un conjunto de ese número de puntos, se podrían disponer en forma de triángulo. En la primera imagen se observa cómo el 15 es un número triangular. Se generan mediante la secuencia de sumar los n primeros números: 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15, etcétera.
  • Números cuadrados: Lo mismo de antes, pero con una disposición en forma de cuadrado. Ahora se obtienen sumando números impares, y además son números que son cuadrados de otro número. Por ejemplo, 1, 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16, etcétera.
  • Números poligonales: Para el pentágono, hexágono y demás polígonos se podrían obtener también números.
  • Números felices: Son aquellos tales que la suma de los cuadrados de sus dígitos, y repitiendo el proceso hasta que quede una cifra, acaba dando 1. Por ejemplo, 82 es feliz porque 8^2+2^2 = 68, 6^2+8^2=100, 1^2+0^2+0^2 = 1 Evidentemente, son infelices los que no son felices.
  • Números ambiciosos: Son aquellos tales que si sumamos sus divisores propios, y repetimos el proceso varias veces, acabamos obteniendo un número perfecto. Por ejemplo, 95 es un número ambicioso, porque sus divisores son 1, 5, 19 y tenemos que 1+5+19=25, y los divisores de 25 son 1 y 5, por lo que 1+5=6, y 6 es un número perfecto.

Mi intención era seguir con esta lista, pero estoy viendo que se me hace muy larga, por lo que seguiremos otro día

Referencias:

  • Artículo de tipos de números en Gaussianos.com
  • Special numbers en Wolfram Math World
  • El diablo de los números, Hans Magnus Ezensberger, 1997 Editorial Siruela
  • Números notables, Lamberto García del Cid, 2010 Ediciones RBA
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Acerca de Carlos Giménez
Profesor de Matemáticas de Bachillerato. Licenciado en Matemáticas y finalizando la Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas. Árbitro FIDE de ajedrez, y con interés en conocer un poco más del mundo que nos rodea.

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