En obras hasta nuevo aviso

Buenas! Durante unos días, este blog estará en obras para remodelar.

En realidad, ahora mismo es un periodo difícil en el que me falta tiempo y energía para tirar esto adelante. La verdad es que últimamente ya sólo me quedaba tiempo para el problema de la semana, y últimamente ni para eso. Además, los próximos meses la situación será igual, así que supongo que lo mejor será aparcar esto durante un tiempo. Lamento tomar esta decisión, que no es la primera vez que me pasa, pero es así. Sólo espero haber ayudado a divulgar las matemáticas durante estos meses.

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Problema de la semana (26): Problemas al sprint II

Para seguir con la saga de problemas al sprint, hoy voy a poner la segunda parte de la prueba, para el que lo quiera mirar.

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5. Si a,b,c son números positivos tales que $a > b > c$, que cumplen que:

a^3+b^4+b^5+c^6+c^7+c^8+c^9=2013

¿Cuál es el valor de a-b-c? (Nota: El resultado de este problema era el valor M que se proporcionaba al problema 3)

6. El lado AB está dividido en cinco partes iguales. Los puntos N y P se unen con el punto medio del lado BC, el punto E. ¿En qué razones queda dividida la diagonal AC por los dos segmentos dibujados? En concreto, se pide el valor de la razón del segmento central respecto la diagonal, es decir, \displaystyle \frac{RS}{AC}problema6

7. María, Antonio y Gabriel han participado en una carrera popular y han llegado a la meta en este orden. María ha llegado justamente en la posición mediana de los participantes. Entre María y Antonio han llegado tantas personas como por detrás que Gabriel. Más adelante que Antonio han llegado a la meta 2013 personas, y  entre Antonio y Gabriel han llegado a la meta K personas (Nota: K era la solución del problema 1, es decir 36). ¿Cuántas personas han participado en la carrera?

8. Sea f una función definida en los números reales que cumple f(2013) = 7 y, para todo valor de n, se cumple que:

\displaystyle f(n+1) = \frac{f(n)-1}{f(n)+1}.

Como el día de la prueba fue el 30 de enero, calcular f(30)

Solución al problema de la semana (25): Problemas al sprint I

Muy buenas, la verdad es que tengo esto un poco abandonado, la verdad es que entre que me he cambiado de ordenador, preparar clases y exámenes, y otras tareas ando liado como para actualizar esto.  De todas formas, la gente tampoco se anima a participar, así que da lo mismo que deje una semana o dos para responder.

Vamos a dar la respuesta a los cuatro primeros Problemas al sprint.

1. Tenemos 11 bolsas, todas ellas con el mismo número de bolas. De la primera bolsa sacamos un cierto número de bolas; de la segunda, sacamos el doble de bolas que de la primera; de la tercera, el triple que de la primera, y así sucesivamente. Después de esto, en la undécima bolsa quedan tres bolas y entre todas las bolsas quedan 2013 bolas en total. ¿Cuántas bolas hemos extraído de la primera bolsa?

Este problema costó un poco más de lo que pensábamos, ya que creíamos que al ser el primero sería sencillo. Si consideramos que sacamos x bolas de la primera urna, de la segunda sacamos 2x, y así sucesivamente, podemos ver que en total se han sacado 66x bolas.

Si consideramos que y es el número total de bolas, podemos concluir que y - 66x = 2013

Como en cada urna había el mismo número de bolas, podemos concluir que \displaystyle \frac{y}{11} - 11x = 3

A partir de aquí, podemos resolver el sistema y tenemos que x=36 y y=4389. Por lo tanto, hemos extraído 36 bolas.

2. En la figura se ve una estrella de 4 puntas. Los cuatro vértices exteriores de la estrella son los vértices de un cuadrado. Los cuatro vértices interiores de la estrella son los cuatro puntos situados sobre un círculo de centro en el centro del cuadrado, concretamente, en los extremos de diámetros paralelos a los lados del cuadrado.

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Si el área de la estrella es un tercio de la del cuadrado, y el lado del cuadrado mide 12 unidades, ¿cuál es el radio del círculo?

Este al principio costó, pero hubo una alumna que tuvo una idea brillante. Sabemos que el lado del cuadrado mide 12 unidades, por lo tanto el área es de 144. Así, el área blanca es de 96, y la estrella tiene un área de 48.

Dividiendo entre 4, cada triángulo tiene un área de 12. Como el área de un triángulo es 24, y la base es 12, podemos ver que la altura es de 4. Por lo tanto, el diámetro será 12-4-4=4, y el radio es 2.

3. Si f es una función definida en el conjunto de los números reales y que cumple que f(x\cdot y)=f(x+y), y además, sabemos que f(10)=M, ¿cuál es el valor de f(40)? (Nota: M es el valor que nos pasó el otro equipo que hacía el problema 5, pero para el problema se puede dejar en función de M)

Este problema salió rápido. La cuestión fue caer en que f(N) = f(N\cdot 1)=f(N+1), y por lo tanto, podemos ver que f(10)=f(11) = \dots = f(40). Por lo tanto, f(40)=M

4. ¿Cuál es la media aritmética de todos los números de la forma a +2b+3c+4d, si sabemos que abcd recorre el conjunto de las permutaciones de las cifras del número 2013? (Nota: Este problema viene porque este 2013 es el Año Internacional de la Estadística)

En total, tenemos 4!=24 permutaciones del número. Cada letra coge 6 veces cada uno de los 4 valores: 0, 1, 2 y 3. A partir de aquí, sumando todas las a, queda 36. Por lo tanto, la suma de a + 2b+ 3c + 4d en todas las permutaciones será $36 + 2 \cdot 36 + 3 \cdot 36 + 4 \cdot 36 = 360$. Y la media es \displaystyle \frac{360}{24} = 15

En un rato pongo los cuatro siguientes.

Problema de la semana (25): Problemas al sprint I

Muy buenas, las tres próximas entregas del problema de la semana estarán dedicadas a los Problemes a l’esprint, que tal y como os comenté en la última entrada, se celebraron el pasado 30 de enero y participamos con mis alumnos de 1º de Bachillerato. A continuación podéis ver en la web de Túrbula una reseña de la actividad que hicimos.

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La actividad consistió de 10 problemas, y unos problemas dependían de otros. En el colegio participamos con 18 alumnos, que distribuimos en dos equipos de 9, que a su vez estaban subdivididos en equipos de 3. Un equipo de 9 se encargó de 4 problemas, mientras el otro equipo se encargó de los otros 9. Finalmente, todos los alumnos se pusieron manos a la obra con los dos últimos problemas, aunque ya no le pudimos dedicar más tiempo a la actividad. Además, contamos con la colaboración de los profesores de Física y de Química, a los que agradezco su interés por la actividad.

La verdad es que fue un rato muy entretenido, donde todos los alumnos aportaron su granito de arena y consiguieron resolver problemas. La verdad es que al día siguiente estuvimos comentando sobre la satisfacción que produce resolver un problema.

Allá van los cuatro primeros problemas, llamados “de la rama de olivo”:

1. Tenemos 11 bolsas, todas ellas con el mismo número de bolas. De la primera bolsa sacamos un cierto número de bolas; de la segunda, sacamos el doble de bolas que de la primera; de la tercera, el triple que de la primera, y así sucesivamente. Después de esto, en la undécima bolsa quedan tres bolas y entre todas las bolsas quedan 2013 bolas en total. ¿Cuántas bolas hemos extraído de la primera bolsa?

2. En la figura se ve una estrella de 4 puntas. Los cuatro vértices exteriores de la estrella son los vértices de un cuadrado. Los cuatro vértices interiores de la estrella son los cuatro puntos situados sobre un círculo de centro en el centro del cuadrado, concretamente, en los extremos de diámetros paralelos a los lados del cuadrado.

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Si el área de la estrella es un tercio de la del cuadrado, y el lado del cuadrado mide 12 unidades, ¿cuál es el radio del círculo?

3. Si f es una función definida en el conjunto de los números reales y que cumple que f(x+y)=f(x \cdot y), y además, sabemos que f(10)=M, ¿cuál es el valor de f(40)? (Nota: M es el valor que nos pasó el otro equipo que hacía el problema 5, pero para el problema se puede dejar en función de M)

4. ¿Cuál es la media aritmética de todos los números de la forma a + 2b + 3c + 4d, si sabemos que abcd recorre el conjunto de las permutaciones de las cifras del número 2013? (Nota: Este problema viene porque este 2013 es el Año Internacional de la Estadística)

Bueno, ahí lo dejo, espero que os gusten, y como siempre, podéis hacer comentarios para las soluciones. ¡Saludos!