El Teorema de Bolzano

Esta entrada está dedicada a mis alumnos y ex-alumnos de 2º de Bachillerato científico. Hoy he explicado en clase uno de mis teoremas favoritos. Aunque yo soy más amigo del Álgebra y la Matemática Discreta, y también un poco de la Geometría, la verdad es que algunos resultados de Análisis me resultan brillantes.
El Teorema de Bolzano es uno de ellos, dada su sencillez, y porque la reacción de los alumnos siempre es de extrañeza, como preguntándose: “¿de verdad es necesario un teorema para esto?” Y es que a los matemáticos nos encantan los teoremas de existencia de soluciones. No nos interesa el cómo se resuelve una ecuación, un problema, sino algo más profundo, como saber si existe la solución o no.

Paisaje de la población de Bolzano, que nada tiene que ver con el matemático.

Bernard Bolzano fue un matemático nacido en Praga en el año 1781, y fallecido en la misma población en 1848, que tuvo importantes aportaciones a las matemáticas y la filosofía. En el mundo de la filosofía, criticó el idealismo de Hegel y Kant, mientras que en las matemáticas sus aportaciones más importantes fueron el Teorema de Bolzano y el Teorema de Bolzano-Weierstrass sobre sucesiones, que inició Bolzano y que Karl Weierstrass desarrolló a finales del siglo XIX.

Vamos a hablar del teorema de Bolzano, que dice así:

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y con f(a) y f(b) con signos contrarios. Entonces, existe, al menos, un punto c \in [a,b] tal que f(c)=0

Es decir, si tenemos un punto en el que la función toma un valor negativo, y otro punto en el que la función toma un valor positivo, más adelante, entonces entre medio tiene que haber algún punto en el que la función valga 0. Gráficamente, sería algo así:

Como a mí me explicaron en su día más coloquialmente, y con perdón, este teorema viene a decir que “para cruzar el río hay que mojarse el culo“. O también, que “si un ascensor está en el sótano y sube hasta la primera planta, tendrá que pasar por la planta baja”. De todas formas, parece que no todo el mundo lo tiene claro:

La demostración más típica, que no mostraré aquí ya que con que la sufran mis alumnos ya hay bastante, se basa en aproximaciones sucesivas e intervalos encajados. Consiste en ir buscando los puntos medios, siempre buscando la alternancia de los signos. A partir de ahí, se puede demostrar que en algún momento llegaremos al 0, ya que de lo contrario, llegaríamos a una contradicción. De hecho, viene a ser como una especie de “tanteo”, o de “ensayo y error”, para buscar la solución. Es curioso ver cómo hay gente que le ha dedicado artículos al Teorema de Bolzano en la Frikipedia y la Inciclopedia, que aunque tienen alguna parte un poco soez, me he reído un poco con ellos.

Y para acabar, un chiste en el que muestra esto que comentaba de que a los matemáticos sólo nos preocupa la existencia de la solución:

¿Cómo se comportan un ingeniero, un físico y un matemático si hay un incendio en su casa?

– Al ingeniero le despierta el olor del humo, se levanta de la cama y observa el fuego en el pasillo. Vuelve a su habitación, coge la papelera, la llena de agua en el cuarto de baño, apaga el fuego tirándole el agua encima, y se vuelve a la cama. Problema resuelto.

– El físico también se despierta con el olor del humo. Se levanta, observa el fuego, calcula su altura y la temperatura aproximada. Busca una boca de riego y averigua la presión con la que sale el agua. Consigue una manguera, y, minimizando el gasto de energía, lanza un chorro con la manguera, con la menor cantidad posible de agua que consiga apagar el fuego. Apaga el fuego y se vuelve a la cama a dormir. Problema resuelto.

– El matemático huele el humo y deduce que pude haber un fuego en su casa. Sale al pasillo y comprueba que efectivamente se está quemando. Se queda pensativo unos instantes y comprueba que dispone de agua suficiente para apagarlo. Se va a la cama: sabe que el problema tiene solución.

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