Solución al problema de la semana (14): El jugador de ajedrez

Muy buenas, vamos a solucionar el problema de la semana (y también el problema ajedrecístico). Vamos por el primero, que consistía en encontrar, desde la posición inicial, una posición de “mate ayudado”, en cuatro jugadas, y de manera que las jugadas negras fuesen de peón.

La solución es 1.f3 e5 2. Rf2 h5 3. Rg3 h4+ 4. Rg4 d6#, tras lo cual queda la siguiente posición de mate:

En cuanto al problema de la semana, era el siguiente:

El jugador de ajedrez John Patzer habla con un organizador para participar en un prestigioso torneo. El organizador dice que deberá enfrentarse a dos jugadores: Magnus Carlsen y Michael Adams. Patzer sabe que Carlsen es mejor que Adams, por lo que tiene más probabilidades de ganar a Adams que a Carlsen. Además:

  • Jugará tres partidas
  • Tiene que ganar dos partidas consecutivas.
  • Le proponen dos órdenes para jugar: Carlsen-Adams-Carlsen o Adams-Carlsen-Adams.

¿Cuál de los dos órdenes es mejor?

A continuación, la solución…

Pongamos que la probabilidad de ganar a Carlsen es p y la probabilidad de ganar a Adams es q. Está claro que q > p.
La probabilidad de ganar dos partidas consecutivas usando el primer orden viene de dos casos:

  • Ganar la primera a Carlsen y la segunda a Adams: pq
  • Perder la primera con Carlsen, luego ganar a Adams y luego a Carlsen en la tercera: $latex(1-p)pq$
  • Por tanto, la probabilidad de conseguir el objetivo es pq + (1-p)pq = 2pq-p^2 q

En el segundo caso, la probabilidad de ganar dos partidas consecutivas viene de:

  • Ganar en la primera a Adams y en la segunda a Carlsen pq
  • Perder la primera con Adams, luego ganar a Carlsen y luego a Adams en la tercera: (1-q)pq
  • Por tanto, la probabilidad de conseguirlo es 2pq - pq^2

Como q>p, podemos concluir que 2pq - p^2q > 2pq -pq^2. Por lo tanto, el orden que va mejor es el primero. Era un problema difícil, que usaba temas de probabilidad. Con datos diferentes, este problema apareció en la fase catalana de la Olimpiada Matemática.

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