Problema de la semana (26): Problemas al sprint II

Para seguir con la saga de problemas al sprint, hoy voy a poner la segunda parte de la prueba, para el que lo quiera mirar.

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5. Si a,b,c son números positivos tales que $a > b > c$, que cumplen que:

a^3+b^4+b^5+c^6+c^7+c^8+c^9=2013

¿Cuál es el valor de a-b-c? (Nota: El resultado de este problema era el valor M que se proporcionaba al problema 3)

6. El lado AB está dividido en cinco partes iguales. Los puntos N y P se unen con el punto medio del lado BC, el punto E. ¿En qué razones queda dividida la diagonal AC por los dos segmentos dibujados? En concreto, se pide el valor de la razón del segmento central respecto la diagonal, es decir, \displaystyle \frac{RS}{AC}problema6

7. María, Antonio y Gabriel han participado en una carrera popular y han llegado a la meta en este orden. María ha llegado justamente en la posición mediana de los participantes. Entre María y Antonio han llegado tantas personas como por detrás que Gabriel. Más adelante que Antonio han llegado a la meta 2013 personas, y  entre Antonio y Gabriel han llegado a la meta K personas (Nota: K era la solución del problema 1, es decir 36). ¿Cuántas personas han participado en la carrera?

8. Sea f una función definida en los números reales que cumple f(2013) = 7 y, para todo valor de n, se cumple que:

\displaystyle f(n+1) = \frac{f(n)-1}{f(n)+1}.

Como el día de la prueba fue el 30 de enero, calcular f(30)

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Solución al problema de la semana (25): Problemas al sprint I

Muy buenas, la verdad es que tengo esto un poco abandonado, la verdad es que entre que me he cambiado de ordenador, preparar clases y exámenes, y otras tareas ando liado como para actualizar esto.  De todas formas, la gente tampoco se anima a participar, así que da lo mismo que deje una semana o dos para responder.

Vamos a dar la respuesta a los cuatro primeros Problemas al sprint.

1. Tenemos 11 bolsas, todas ellas con el mismo número de bolas. De la primera bolsa sacamos un cierto número de bolas; de la segunda, sacamos el doble de bolas que de la primera; de la tercera, el triple que de la primera, y así sucesivamente. Después de esto, en la undécima bolsa quedan tres bolas y entre todas las bolsas quedan 2013 bolas en total. ¿Cuántas bolas hemos extraído de la primera bolsa?

Este problema costó un poco más de lo que pensábamos, ya que creíamos que al ser el primero sería sencillo. Si consideramos que sacamos x bolas de la primera urna, de la segunda sacamos 2x, y así sucesivamente, podemos ver que en total se han sacado 66x bolas.

Si consideramos que y es el número total de bolas, podemos concluir que y - 66x = 2013

Como en cada urna había el mismo número de bolas, podemos concluir que \displaystyle \frac{y}{11} - 11x = 3

A partir de aquí, podemos resolver el sistema y tenemos que x=36 y y=4389. Por lo tanto, hemos extraído 36 bolas.

2. En la figura se ve una estrella de 4 puntas. Los cuatro vértices exteriores de la estrella son los vértices de un cuadrado. Los cuatro vértices interiores de la estrella son los cuatro puntos situados sobre un círculo de centro en el centro del cuadrado, concretamente, en los extremos de diámetros paralelos a los lados del cuadrado.

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Si el área de la estrella es un tercio de la del cuadrado, y el lado del cuadrado mide 12 unidades, ¿cuál es el radio del círculo?

Este al principio costó, pero hubo una alumna que tuvo una idea brillante. Sabemos que el lado del cuadrado mide 12 unidades, por lo tanto el área es de 144. Así, el área blanca es de 96, y la estrella tiene un área de 48.

Dividiendo entre 4, cada triángulo tiene un área de 12. Como el área de un triángulo es 24, y la base es 12, podemos ver que la altura es de 4. Por lo tanto, el diámetro será 12-4-4=4, y el radio es 2.

3. Si f es una función definida en el conjunto de los números reales y que cumple que f(x\cdot y)=f(x+y), y además, sabemos que f(10)=M, ¿cuál es el valor de f(40)? (Nota: M es el valor que nos pasó el otro equipo que hacía el problema 5, pero para el problema se puede dejar en función de M)

Este problema salió rápido. La cuestión fue caer en que f(N) = f(N\cdot 1)=f(N+1), y por lo tanto, podemos ver que f(10)=f(11) = \dots = f(40). Por lo tanto, f(40)=M

4. ¿Cuál es la media aritmética de todos los números de la forma a +2b+3c+4d, si sabemos que abcd recorre el conjunto de las permutaciones de las cifras del número 2013? (Nota: Este problema viene porque este 2013 es el Año Internacional de la Estadística)

En total, tenemos 4!=24 permutaciones del número. Cada letra coge 6 veces cada uno de los 4 valores: 0, 1, 2 y 3. A partir de aquí, sumando todas las a, queda 36. Por lo tanto, la suma de a + 2b+ 3c + 4d en todas las permutaciones será $36 + 2 \cdot 36 + 3 \cdot 36 + 4 \cdot 36 = 360$. Y la media es \displaystyle \frac{360}{24} = 15

En un rato pongo los cuatro siguientes.

Problema de la semana (25): Problemas al sprint I

Muy buenas, las tres próximas entregas del problema de la semana estarán dedicadas a los Problemes a l’esprint, que tal y como os comenté en la última entrada, se celebraron el pasado 30 de enero y participamos con mis alumnos de 1º de Bachillerato. A continuación podéis ver en la web de Túrbula una reseña de la actividad que hicimos.

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La actividad consistió de 10 problemas, y unos problemas dependían de otros. En el colegio participamos con 18 alumnos, que distribuimos en dos equipos de 9, que a su vez estaban subdivididos en equipos de 3. Un equipo de 9 se encargó de 4 problemas, mientras el otro equipo se encargó de los otros 9. Finalmente, todos los alumnos se pusieron manos a la obra con los dos últimos problemas, aunque ya no le pudimos dedicar más tiempo a la actividad. Además, contamos con la colaboración de los profesores de Física y de Química, a los que agradezco su interés por la actividad.

La verdad es que fue un rato muy entretenido, donde todos los alumnos aportaron su granito de arena y consiguieron resolver problemas. La verdad es que al día siguiente estuvimos comentando sobre la satisfacción que produce resolver un problema.

Allá van los cuatro primeros problemas, llamados “de la rama de olivo”:

1. Tenemos 11 bolsas, todas ellas con el mismo número de bolas. De la primera bolsa sacamos un cierto número de bolas; de la segunda, sacamos el doble de bolas que de la primera; de la tercera, el triple que de la primera, y así sucesivamente. Después de esto, en la undécima bolsa quedan tres bolas y entre todas las bolsas quedan 2013 bolas en total. ¿Cuántas bolas hemos extraído de la primera bolsa?

2. En la figura se ve una estrella de 4 puntas. Los cuatro vértices exteriores de la estrella son los vértices de un cuadrado. Los cuatro vértices interiores de la estrella son los cuatro puntos situados sobre un círculo de centro en el centro del cuadrado, concretamente, en los extremos de diámetros paralelos a los lados del cuadrado.

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Si el área de la estrella es un tercio de la del cuadrado, y el lado del cuadrado mide 12 unidades, ¿cuál es el radio del círculo?

3. Si f es una función definida en el conjunto de los números reales y que cumple que f(x+y)=f(x \cdot y), y además, sabemos que f(10)=M, ¿cuál es el valor de f(40)? (Nota: M es el valor que nos pasó el otro equipo que hacía el problema 5, pero para el problema se puede dejar en función de M)

4. ¿Cuál es la media aritmética de todos los números de la forma a + 2b + 3c + 4d, si sabemos que abcd recorre el conjunto de las permutaciones de las cifras del número 2013? (Nota: Este problema viene porque este 2013 es el Año Internacional de la Estadística)

Bueno, ahí lo dejo, espero que os gusten, y como siempre, podéis hacer comentarios para las soluciones. ¡Saludos!

Mañana, problemas al sprint

Muy buenas, alguno habrá detectado que aún no he publicado el problema de esta semana. La verdad es que tenía pensado un problema, pero he pensado dejarlo para otra ocasión. Aprovechando que esta semana será el problema número 25 (un cuadrado perfecto bastante bonito), haré una cosa un poco especial.

Y es que mañana, los alumnos de 1º de Bachillerato participarán en la 21ª edición de los Problemes a l’esprint, una actividad matemática en la que los alumnos, organizados por equipos, intentarán resolver problemas matemáticos de dificultad moderada. Son un tipo de problemas similares a los de las Proves Cangur, en las que participaremos con 35 alumnos de Escola Túrbula, pero aquí la diferencia está en que la participación es por equipos, mientras que en las Cangur se trata de participación individual.

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Mañana se celebrará la fase para Bachillerato (1º y 2º, aunque por motivos logísticos nosotros sólo lo haremos con 1º), y en los próximos meses se hace para otros cursos: 3º y 4º de ESO (en febrero), 1º y 2º de ESO (en marzo), y 6º de primaria (en abril). Felicito a la Societat Catalana de Matemàtiques por esta interesante iniciativa, que seguro que será algo gratificante para alumnos y profesores.

Así pues, en la edición 25 del problema de la semana incluiré los problemas que nos encontremos mañana. Aparte de ello, en las próximas semanas os comentaré otra interesante iniciativa en la que mis alumnos participarán.

¡Saludos!

Solución al problema de la semana (24): La piscina de tío Gilito

Muy buenas, voy a resolver el problema de la semana, que consistía en saber cuánto oro tenía tío Gilito en su piscina. Vamos allá:

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Los datos nos decían que tenía 120 pies x 120 pies x 90 pies como dimensiones (la última se puede ver en la foto adjunta). Por lo tanto:

  • En metros, estamos hablando de 36,576 \cdot 36,576 \cdot 27,432 metros.
  • Si calculamos el volumen, en total tenemos 36.698,63 m^3
  • Como la densidad del oro es de 19300 \frac{kg}{m^3}, en total tenemos 708.283.620 kg
  • Ahora, como sabemos que la cotización del oro está, en euros, en 39.506,74 euros el kilo. Por lo tanto, en total, tío Gilito en su piscina tiene 27.981.976.838.838 euros. ¡Más de 27 billones!

¡Un saludo!

Problema de la semana (24): La piscina de tío Gilito

Me he inspirado para el problema de esta semana después de una conversación con una amiga. Hablábamos sobre gente millonaria, y nos ha venido a la cabeza la imagen del entrañable Tío Gilito, de Disney, en su piscina de monedas. Este problema requerirá un poco de investigación, así será un poco más entretenido, y quizá como propuesta didáctica para el aula es aprovechable.

tio-gilito

La pregunta es: ¿cuánto dinero haría falta para tener la misma piscina que Tío Gilito? Evidentemente, vamos a suponer que dentro sólo hay oro, y las medidas, según se puede ver en los diferentes medios consultados, son de 120 pies de largo, 120 de ancho y 90 pies de profundidad. Dejo para el lector la consulta de:

  • La equivalencia entre pies y metros
  • El cálculo del volumen de la piscina
  • La densidad del oro, para saber el peso que hay
  • La cotización, en euros, el oro.

Con esta entrada participo en la edición 3.1415926535 del Carnaval de Matemáticas, que organiza, en esta ocasión, el blog La aventura de la Ciencia

Solución al problema de la semana (23): Usando cuatro cuatros

Muy buenas, resuelvo el problema de la semana, que consistía en formar los números del 1 al 20 usando cuatro cuatros, y algunas operaciones que eran:

  • Las 4 operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división)
  • Las potencias y las raíces cuadradas
  • Los factoriales
  • El punto decimal (.4 es 0.4), y el “sombrerito” para indicar decimal periódico (o si queréis, puntos suspensivos)

cuatros

Vamos allá:

  • \displaystyle 1 = \frac{44}{44}
  • \displaystyle 2 = \frac{4}{4} + \frac{4}{4}
  • \displaystyle 3 = \frac{4 \cdot 4 - 4}{4}
  • \displaystyle 4 = 4+4\cdot(4-4)
  • \displaystyle 5 = \frac{(4 \cdot 4 + 4}{4}
  • \displaystyle 6 = 4 + \frac{4+4}{4}
  • \displaystyle 7 = 4 + 4 - \frac{4}{4}
  • \displaystyle 8 = 4 + 4 + 4 - 4
  • \displaystyle 9 = 4 + 4 + \frac{4}{4}
  • \displaystyle 10 = \frac{4 \cdot 4 + 4}{\sqrt{4}}
  • \displaystyle 11 = \frac{4}{4} + \frac{4}{.4}
  • \displaystyle 12 = 4 \cdot (4 - \frac{4}{4})
  • \displaystyle 13 = \frac{44}{4} + \sqrt{4}
  • \displaystyle 14 = 4+4+4+\sqrt{4}
  • \displaystyle 15 = 4 \cdot 4-\frac{4}{4}
  • \displaystyle 16 = 4 \cdot 4+4-4
  • \displaystyle 17 = 4 \cdot 4+\frac{4}{4}
  • \displaystyle 18 = 4 \cdot 4 + 4 - \sqrt{4}
  • \displaystyle 19 = 4! - 4 - \frac{4}{4}

El bonus (que era del 21 al 100) lo podéis encontrar aquí.