Solución al problema de la semana (25): Problemas al sprint I

Muy buenas, la verdad es que tengo esto un poco abandonado, la verdad es que entre que me he cambiado de ordenador, preparar clases y exámenes, y otras tareas ando liado como para actualizar esto.  De todas formas, la gente tampoco se anima a participar, así que da lo mismo que deje una semana o dos para responder.

Vamos a dar la respuesta a los cuatro primeros Problemas al sprint.

1. Tenemos 11 bolsas, todas ellas con el mismo número de bolas. De la primera bolsa sacamos un cierto número de bolas; de la segunda, sacamos el doble de bolas que de la primera; de la tercera, el triple que de la primera, y así sucesivamente. Después de esto, en la undécima bolsa quedan tres bolas y entre todas las bolsas quedan 2013 bolas en total. ¿Cuántas bolas hemos extraído de la primera bolsa?

Este problema costó un poco más de lo que pensábamos, ya que creíamos que al ser el primero sería sencillo. Si consideramos que sacamos x bolas de la primera urna, de la segunda sacamos 2x, y así sucesivamente, podemos ver que en total se han sacado 66x bolas.

Si consideramos que y es el número total de bolas, podemos concluir que y - 66x = 2013

Como en cada urna había el mismo número de bolas, podemos concluir que \displaystyle \frac{y}{11} - 11x = 3

A partir de aquí, podemos resolver el sistema y tenemos que x=36 y y=4389. Por lo tanto, hemos extraído 36 bolas.

2. En la figura se ve una estrella de 4 puntas. Los cuatro vértices exteriores de la estrella son los vértices de un cuadrado. Los cuatro vértices interiores de la estrella son los cuatro puntos situados sobre un círculo de centro en el centro del cuadrado, concretamente, en los extremos de diámetros paralelos a los lados del cuadrado.

problema2

Si el área de la estrella es un tercio de la del cuadrado, y el lado del cuadrado mide 12 unidades, ¿cuál es el radio del círculo?

Este al principio costó, pero hubo una alumna que tuvo una idea brillante. Sabemos que el lado del cuadrado mide 12 unidades, por lo tanto el área es de 144. Así, el área blanca es de 96, y la estrella tiene un área de 48.

Dividiendo entre 4, cada triángulo tiene un área de 12. Como el área de un triángulo es 24, y la base es 12, podemos ver que la altura es de 4. Por lo tanto, el diámetro será 12-4-4=4, y el radio es 2.

3. Si f es una función definida en el conjunto de los números reales y que cumple que f(x\cdot y)=f(x+y), y además, sabemos que f(10)=M, ¿cuál es el valor de f(40)? (Nota: M es el valor que nos pasó el otro equipo que hacía el problema 5, pero para el problema se puede dejar en función de M)

Este problema salió rápido. La cuestión fue caer en que f(N) = f(N\cdot 1)=f(N+1), y por lo tanto, podemos ver que f(10)=f(11) = \dots = f(40). Por lo tanto, f(40)=M

4. ¿Cuál es la media aritmética de todos los números de la forma a +2b+3c+4d, si sabemos que abcd recorre el conjunto de las permutaciones de las cifras del número 2013? (Nota: Este problema viene porque este 2013 es el Año Internacional de la Estadística)

En total, tenemos 4!=24 permutaciones del número. Cada letra coge 6 veces cada uno de los 4 valores: 0, 1, 2 y 3. A partir de aquí, sumando todas las a, queda 36. Por lo tanto, la suma de a + 2b+ 3c + 4d en todas las permutaciones será $36 + 2 \cdot 36 + 3 \cdot 36 + 4 \cdot 36 = 360$. Y la media es \displaystyle \frac{360}{24} = 15

En un rato pongo los cuatro siguientes.

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