Problema de la semana (26): Problemas al sprint II

Para seguir con la saga de problemas al sprint, hoy voy a poner la segunda parte de la prueba, para el que lo quiera mirar.

trivialindex

5. Si a,b,c son números positivos tales que $a > b > c$, que cumplen que:

a^3+b^4+b^5+c^6+c^7+c^8+c^9=2013

¿Cuál es el valor de a-b-c? (Nota: El resultado de este problema era el valor M que se proporcionaba al problema 3)

6. El lado AB está dividido en cinco partes iguales. Los puntos N y P se unen con el punto medio del lado BC, el punto E. ¿En qué razones queda dividida la diagonal AC por los dos segmentos dibujados? En concreto, se pide el valor de la razón del segmento central respecto la diagonal, es decir, \displaystyle \frac{RS}{AC}problema6

7. María, Antonio y Gabriel han participado en una carrera popular y han llegado a la meta en este orden. María ha llegado justamente en la posición mediana de los participantes. Entre María y Antonio han llegado tantas personas como por detrás que Gabriel. Más adelante que Antonio han llegado a la meta 2013 personas, y  entre Antonio y Gabriel han llegado a la meta K personas (Nota: K era la solución del problema 1, es decir 36). ¿Cuántas personas han participado en la carrera?

8. Sea f una función definida en los números reales que cumple f(2013) = 7 y, para todo valor de n, se cumple que:

\displaystyle f(n+1) = \frac{f(n)-1}{f(n)+1}.

Como el día de la prueba fue el 30 de enero, calcular f(30)

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