El Ábaco de Madera

Raíz cuadrada de 2 NO es 2

¡Hola a todos! Después de muchísimos intentos de volver a la actividad, donde la falta de tiempo (y más aún con la situación extraordinariamente grave de los últimos meses) lo ha hecho casi imposible, por fin vuelvo con un artículo (¡que tenía como borrador desde hace más de un año!). Espero escribir alguna cosilla más durante las vacaciones.

Hago una entrada como respuesta a una primera parte que escribí ya hace algún tiempo. De hecho, había recibido varios correos reclamándome la respuesta a esta primera parte. Mis disculpas por ello, y espero que os guste.

Bien, el tema era el siguiente. Tomábamos un cuadrado que tuviera longitud 1, y su diagonal era, por tanto, \displaystyle \sqrt{2}.

Decíamos que la diagonal medía \displaystyle \sqrt{2}, de acuerdo con el teorema de Pitágoras. Y si recorríamos los lados del cuadrado era 2, lógicamente. Haciendo líneas quebradas, veíamos que sumaban 2 de longitud (porque era lo mismo que recorrer dos lados del cuadrado.

Todas las líneas quebradas marrones tienen longitud 2, mientras que la diagonal, es decir, la línea que va desde A hasta C, sigue siendo \displaystyle \sqrt{2}. De aquí llegábamos a la conclusión de que al final la línea marrón y la negra se fundían en una sola y se llegaba a la paradoja de que \displaystyle \sqrt{2}=2.

Pues bien, el problema está precisamente en que nunca serán iguales estas dos líneas, aunque lo puedan parecer. Basta con ampliar la imagen para comprobar que seguirá siendo así, y tendríamos algo similar a la primera imagen ampliando mucho las otras. Dicho de otra forma, por muy pequeños que sean los triángulos marrones, siempre se recorrerá una longitud mayor por sus catetos que haciéndolo desde la hipotenusa. Si no fuese así, significaría que para cualquier triángulo rectángulo, la suma de sus catetos es igual a la hipotenusa, o sea \displaystyle a=b+c, y y sabemos que es falso por el Teorema de Pitágoras. El problema viene porque el área comprendida entre la línea marrón y la diagonal cada vez es menor, y eso nos hace pensar que las líneas también serán iguales (pero no es así).

Visto de forma más analítica

Tenemos un cuadrado de longitud 1 y diagonal $latex  \displaystyle \sqrt{2}$. Si creamos una línea poligonal, como las del ejemplo, en n partes, tendremos triángulos rectángulos que tendrán como catetos \frac{1}{n} y como hipotenusa \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{n}.

Como en total hay n pares de catetos y n hipotenusas iguales, la línea poligonal marrón tendrá como longitud \displaystyle \lim_{n \to \infty} n \cdot 2 \cdot \frac{1}{n} = 2

En cambio, con las hipotenusas, \displaystyle \lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{\sqrt{2}}{n} = \sqrt{2}.

Lo que pasa es que, como decía antes, lo que sí serán cada vez más pequeñas, y tienden a cero, son las sumas de las áreas de los triángulos que se forman. El área de un triángulo sería \displaystyle \frac{1}{2n^2}, y la suma total, por tanto, \displaystyle \frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2n}, y \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n}=0.

Otra «paradoja»

De una forma similar se puede construir otra paradoja. Tomemos un círculo de diámetro 1.  Su longitud es \pi \cdot 1 = \pi. Ahora, lo ponemos dentro de un cuadrado. Cada lado del cuadrado es 1, por lo tanto su perímetro es 4. Y de la misma forma que antes, vamos recortando las esquinas. Esto da lugar al siguiente meme que hace años que corre:

pi4

El problema vuelve a ser el mismo: el área comprendida entre línea quebrada y círculo es cada vez menor, pero ello no implica que las dos líneas sean iguales. Además, aquí podéis ver que a veces el tramo horizontal es mayor que el vertical, y en otras es al revés (cuando se acerca a las partes correspondientes a 0, 90, 180 o 270 grados).

¿El Teorema de Pitágoras es falso?

Un tercer ejemplo de este tipo de paradojas sería este triángulo:

pitagorasfalso

Nosotros sabemos que esto es un triángulo rectángulo, por lo que si los catetos son 3 y 4, sabemos, por el Teorema de Pitágoras, que la hipotenusa es \sqrt{3^2+4^2}=5. De la misma forma, si hacemos rectángulos como en la imagen, podemos obtener difrentes caminos mediante líneas quebradas para unir el vértice superior y el vértice de la derecha. En cada una de estas líneas quebradas, la suma de todos los tramos verticales es 3 y la suma de los tramos horizontales es 4, por lo que la longitud total sería 7.

Si repetimos este experimento infinitamente, tenderíamos a pensar que este camino es igual a la hipotenusa, ¡pero no es así! El argumento es similar a los anteriores: las áreas comprendidas serán cada vez menores, pero las líneas no son iguales.

Espero que os haya gustado y en breve seguiré con más!

 

Carlos Giménez

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