Aprovechando que ayer 20 de julio fue el Día Internacional del Ajedrez quería hacer algún post dedicado a relacionar mis dos grandes pasiones, aprovechando una sección de la que ya había dedicado algún artículo anterior como La partida más larga del mundo, ¿Cuántas aperturas hay? o ¿Cuántas partidas hay?
Esta vez quiero proponer un problema matemático en el que interviene el ajedrez. Si no sabes jugar al ajedrez no pasa nada, lo único que tienes que saber es el movimiento de la dama. La dama es la pieza más importante (después del rey) porque es la que puede hacer un número mayor de movimientos. Puede mover en cualquier dirección (horizontal, vertical o en diagonal) tantas casillas como quiera, siempre que no haya piezas que se interpongan en su camino.
La dama se puede mover en cualquier dirección tantas casillas como quiera.
El problema consiste en poner 8 damas en un tablero, de forma que no haya dos de ellas «atacándose», es decir, que no haya dos damas en la misma fila, columna o diagonal.
Esta posición no serviría, ya que si bien todas están en distinta fila y columna, hay muchas en las mismas diagonales.
Si sabéis la solución podéis ponerla en los comentarios, bien poniendo un diagrama o bien haciendo una foto del tablero en el que pongáis la posición. ¡Dentro de una semana pondré la respuesta!
Volviendo a una de las secciones de hace un tiempo, y aprovechando que se acerca la fiesta de Sant Jordi (aplazada a julio) paso a recomendar un libro que me ha gustado mucho, relacionado con las matemáticas.
Tengo muchos libros a recomendar, pero uno que me ha llamado especialmente la atención ha sido este del que hablo hoy. Además, se da la circunstancia de que es un libro que empecé a leer allá por el mes de marzo, pero que dejé en la sala de profesores del colegio justo cuando llegó el confinamiento, y no he podido acabarlo hasta hace poco.
El libro, La fórmula preferida del profesor, de la escritora japonesa Yoko Ogawa, relata la historia de un viejo profesor de matemáticas que ha sufrido un accidente y tiene un problema: su memoria dura exactamente 80 minutos. Su cuñada decide contratar una asistenta para que ayude al profesor con las tareas de la casa. Ella, junto con su hijo, ayudan al profesor a socializarse un poco más y a llevar mejor esta situación.
Yoko Ogawa, autora del libro
Si bien no es un libro especialmente matemático como lo pudiera ser El hombre que calculaba, al tratarse de un profesor de matemáticas se hacen muchas referencias a las matemáticas, como no podía ser de otra forma. Se habla de la fórmula de Euler, y numerosas referencias a temas de la teoría de números: curiosidades sobre los números primos, números amigos y perfectos, etc. Se hacen menciones, también, al último Teorema de Fermat y su demostración (cuando se escribió este libro, en 2003, la demostración era relativamente reciente).
Es una lectura muy amena y que ha recibido premios de sociedades matemáticas por su contribución a la divulgación. El entusiasmo del profesor, como en varias novelas de este estilo, hace ver las matemáticas desde una perspectiva más amena de lo que solemos encontrarnos en la escuela. En la edición de la que he puesto portada, las preciosas ilustraciones de Montse Marín Juárez acaban de completar esta obra.
Escribo un artículo que creo que quedará un poco largo sobre diferentes problemas de lo que se conoce como Teoría de Juegos. La Teoría de Juegos es un campo de las matemáticas que aparece muy a menudo en el campo de la economía. Son situaciones en las que se investigan estrategias óptimas ante la toma de decisiones. Interviene también la psicología, la filosofía y otras ciencias, pero analizándolo fríamente, todo parece un problema de maximizar beneficios.
Si bien ya se hablaba de este tipo de situaciones en el siglo XVIII, no es hasta entrado el siglo XX, y especialmente durante la Guerra Fría, cuando varios matemáticos, destacando entre ellos John Von Neumann (del que destacó también su colaboración con el Proyecto Manhattan y la bomba atómica, pero también sus grandes contribuciones a la computación) y John Forbes Nash (Premio Nobel de Economía en 1994 y mundialmente conocido tras la película «Una mente maravillosa»), desarrollaron las bases de esta rama de las matemáticas.
Para desarrollar en qué consiste la Teoría de Juegos, vamos a empezar con este «Dilema del Prisionero», desarrollado por varios matemáticos de RAND (Reserarch ANd Development), un laboratorio de ideas de las fuerzas armadas estadounidenses.
Usted y otra persona colaboran para cometer un crimen. Después, son detenidos por la policía y los dos sospechosos son ubicados en celdas separadas y sin ningún tipo de posibilidad de comunicarse. La policía le ofrece a usted y a su cómplice un trato idéntico.
Si ambos sospechosos niegan el crimen, serán condenados a 1 año de prisión.
Si usted confiesa el crimen y su cómplice lo niega, usted saldrá absuelto, y su cómplice será condenado a 10 años de prisión.
Si usted niega el crimen y su cómplice lo confiesa, él saldrá absuelto y usted será condenado a 10 años de prisión.
Si ambos confiesan el crimen, los dos serán condenados a 5 años de prisión.
En resumen, la situación es esta:
El cómplice lo niega
El cómplice confiesa
Usted lo niega
Los dos 1 año
Usted 10 años / Él libre
Usted lo confiesa
Usted libre / Él 10 años
Los dos 5 años
Fijémonos en que tenemos dos opciones: o negamos el crimen cooperando con nuestro cómplice, o lo traicionamos y confesamos. Obviamente, la situación puede ser distinta (y ahí interviene la psicología) si conocemos a la otra persona. Si es un amigo o familiar nuestro, probablemente confiaríamos en él y negaríamos el crimen (colaboraríamos), porque seguramente él haría lo mismo. Pero en una situación más general, no sabemos qué hará nuestro cómplice.
Pensándolo ahora desde un punto de vista egoísta, si sabemos que nuestro cómplice lo negará, nuestra opción óptima es confesar, ya que así nosotros saldríamos libres. Si el cómplice confiesa, nuestra mejor opción vuelve a ser confesar, ya que es preferible pasar 5 años en prisión a pasar 10. En cambio, si se piensa en el bien común, lo mejor para ambos es callarse y pasar un año en prisión.
El Giro de Italia y otros dilemas reales
Podemos pensar en esta situación como una muy extraña, pero pensemos en otra parecida. Dos ciclistas van escapados en una etapa del Giro de Italia respecto al pelotón.
El ciclista que va en cabeza tiene el viento de cara tiene más dificultades para avanzar, mientras que el que va detrás va más cómodo. Los ciclistas pueden optar por cooperar, es decir, ir relevándose para llegar con éxito al final de la etapa y tener posibilidades de victoria. También podría darse el caso que sólo colaborara uno de ellos poniéndose en cabeza. Este llegaría más cansado al final de la etapa y con bastante seguridad el otro sería el vencedor. También podría pasar que no colaborasen, y en este caso, serían atrapados por el pelotón.
De forma simple, sería algo así:
El otro colabora
El otro no colabora
Usted colabora
Uno de los dos gana
Él gana
Usted no colabora
Usted gana
El pelotón alcanza
Hay que tener en cuenta que, en esta situación existe una diferencia respecto el dilema inicial: en este dilema la situación puede repetirse en el futuro, y si usted «traiciona» al compañero, en una etapa más adelante la decisión del otro (o de alguien de su equipo) puede ser distinta. Así pues, suele acabar siendo más aconsejable colaborar de cara a futuros eventos. De hecho, nuestra sociedad, aunque individualista, está hecha para cooperar y así sobrevivir.
Más adelante veremos cómo estas hipotéticas situaciones también aparecieron y fueron muy importantes en la Guerra Fría, o incluso hoy en día son importantes en algunas decisiones estratégicas a nivel global.
El dilema del prisionero iterativo
Estas situaciones se acaban resumiendo en matrices numéricas, donde a cada casilla se le pondría una cifra que cuantificaría las ganancias o pérdidas.
Supongamos ahora la situación del dilema del prisionero, con las dos opciones (colaborar o desertar), pero ahora con un beneficio determinado en cada decisión (lo que se conoce como «matriz de pagos»). Quedaría algo así:
El otro colabora
El otro deserta
Usted colabora
20 € / 20 €
0 € / 30 €
Usted deserta
30 € / 0 €
10 € / 10 €
Supongamos que esta situación se produce un número de veces (pongamos, por ejemplo, que se hace 100 veces). ¿Cuál sería la mejor estrategia?
Supongamos que decidimos desertar siempre. Eso nos asegura ganar, como mínimo, 1000 € en total (suponiendo que la otra persona deserta también siempre, serían 10 € cada partida). Pero si hubiéramos hablado habríamos visto que colaborando ambos podríamos haber conseguido 2000 (20€ por partida). Sin embargo, ¿estamos seguros que el otro siempre colaborará? Si no es así, colaborando siempre sólo estaríamos «haciendo el primo» y permitiendo que el otro se lleve los beneficios.
Otra opción sería escoger, de forma aleatoria, una estrategia u otra, aunque hacerlo así tampoco asegura muy buenos resultados.
Robert Axelrod llevó a cabo, en 1984 un experimento por ordenador, que desarrolló en su libro The evolution of cooperation, enfrentando entre ellas diversas estrategias para ver cuál de ellas funcionaba mejor. La clave era intentar «comunicarse» con el otro, para hacerle ver que lo mejor era colaborar, y si no lo hacía, «vengarse». En este sentido, la que resultó más efectiva es la conocida como «Tit for tat» (Toma y daca). Consiste en lo siguiente:
En la primera partida, se coopera. En las siguientes, se hace justo lo que ha hecho el oponente en la partida anterior. Si el oponente coopera en la partida número 10, usted lo hace en la 11. Si el oponente deserta en la 23, usted deserta en la 24. De esta forma, se tiende la mano para cooperar en la primera partida, y si el otro coopera esto seguirá así como en la primera estrategia, pero si el otro no coopera, entonces llega la «venganza» (donde las dan, las toman). Esta estrategia, amable pero defensiva, se mostró la más eficaz en ese experimento, obteniendo mayores ganancias que el resto de estrategias.
Así pues, parece que lo mejor es ayudarse, pero estar alerta por si los demás deciden no hacer lo mismo, y actuar en consecuencia.
He sacado algunas ideas del interesantísimo libro de William Poundstone titulado, precisamente, El dilema del prisionero, y tengo futuras historias y variantes para ir comentando, ya que el tema da mucho de sí. ¡Espero vuestros comentarios!
¡Hola a todos! Después de muchísimos intentos de volver a la actividad, donde la falta de tiempo (y más aún con la situación extraordinariamente grave de los últimos meses) lo ha hecho casi imposible, por fin vuelvo con un artículo (¡que tenía como borrador desde hace más de un año!). Espero escribir alguna cosilla más durante las vacaciones.
Hago una entrada como respuesta a una primera parte que escribí ya hace algún tiempo. De hecho, había recibido varios correos reclamándome la respuesta a esta primera parte. Mis disculpas por ello, y espero que os guste.
Bien, el tema era el siguiente. Tomábamos un cuadrado que tuviera longitud 1, y su diagonal era, por tanto, .
Decíamos que la diagonal medía , de acuerdo con el teorema de Pitágoras. Y si recorríamos los lados del cuadrado era 2, lógicamente. Haciendo líneas quebradas, veíamos que sumaban 2 de longitud (porque era lo mismo que recorrer dos lados del cuadrado.
Todas las líneas quebradas marrones tienen longitud 2, mientras que la diagonal, es decir, la línea que va desde A hasta C, sigue siendo . De aquí llegábamos a la conclusión de que al final la línea marrón y la negra se fundían en una sola y se llegaba a la paradoja de que .
Pues bien, el problema está precisamente en que nunca serán iguales estas dos líneas, aunque lo puedan parecer. Basta con ampliar la imagen para comprobar que seguirá siendo así, y tendríamos algo similar a la primera imagen ampliando mucho las otras. Dicho de otra forma, por muy pequeños que sean los triángulos marrones, siempre se recorrerá una longitud mayor por sus catetos que haciéndolo desde la hipotenusa. Si no fuese así, significaría que para cualquier triángulo rectángulo, la suma de sus catetos es igual a la hipotenusa, o sea , y y sabemos que es falso por el Teorema de Pitágoras. El problema viene porque el área comprendida entre la línea marrón y la diagonal cada vez es menor, y eso nos hace pensar que las líneas también serán iguales (pero no es así).
Visto de forma más analítica
Tenemos un cuadrado de longitud 1 y diagonal $latex \displaystyle \sqrt{2}$. Si creamos una línea poligonal, como las del ejemplo, en n partes, tendremos triángulos rectángulos que tendrán como catetos y como hipotenusa .
Como en total hay n pares de catetos y n hipotenusas iguales, la línea poligonal marrón tendrá como longitud
En cambio, con las hipotenusas, .
Lo que pasa es que, como decía antes, lo que sí serán cada vez más pequeñas, y tienden a cero, son las sumas de las áreas de los triángulos que se forman. El área de un triángulo sería , y la suma total, por tanto, , y .
Otra «paradoja»
De una forma similar se puede construir otra paradoja. Tomemos un círculo de diámetro 1. Su longitud es . Ahora, lo ponemos dentro de un cuadrado. Cada lado del cuadrado es 1, por lo tanto su perímetro es 4. Y de la misma forma que antes, vamos recortando las esquinas. Esto da lugar al siguiente meme que hace años que corre:
El problema vuelve a ser el mismo: el área comprendida entre línea quebrada y círculo es cada vez menor, pero ello no implica que las dos líneas sean iguales. Además, aquí podéis ver que a veces el tramo horizontal es mayor que el vertical, y en otras es al revés (cuando se acerca a las partes correspondientes a 0, 90, 180 o 270 grados).
¿El Teorema de Pitágoras es falso?
Un tercer ejemplo de este tipo de paradojas sería este triángulo:
Nosotros sabemos que esto es un triángulo rectángulo, por lo que si los catetos son 3 y 4, sabemos, por el Teorema de Pitágoras, que la hipotenusa es . De la misma forma, si hacemos rectángulos como en la imagen, podemos obtener difrentes caminos mediante líneas quebradas para unir el vértice superior y el vértice de la derecha. En cada una de estas líneas quebradas, la suma de todos los tramos verticales es 3 y la suma de los tramos horizontales es 4, por lo que la longitud total sería 7.
Si repetimos este experimento infinitamente, tenderíamos a pensar que este camino es igual a la hipotenusa, ¡pero no es así! El argumento es similar a los anteriores: las áreas comprendidas serán cada vez menores, pero las líneas no son iguales.
Espero que os haya gustado y en breve seguiré con más!
Hoy, coincidiendo con los primeros días de curso, quiero comentar algo que considero muy interesante, y que uso como recurso didáctico para el primer día de clase, de manera que puedo ver cómo se defienden los alumnos mediante algo lógico y no estrictamente curricular. Y es que una buena manera de aprender es mediante el juego.
Y como habitualmente es difícil preparar este tipo de actividades por falta de material, vamos con lo más sencillo posible, que sería hacerlo con lápiz y papel. Si sabéis más juegos para usar en una clase, podéis ponerlos en los comentarios y por correo y lo añadiré.
Nim
Se puede hacer con cerillas, palillos, piedrecitas o bien con líneas que se vayan tachando o borrando. Consiste en distribuir una serie de rayas en varios renglones (habitualmente 3 o 4). La siguiente figura es un ejemplo de una posible distribución, pudiendo haber muchas alternativas:
Ejemplo de juego de Nim
En cada turno cada jugador puede retirar uno o más palillos, incluso todos, de la misma fila, pero no puede retirar palillos de líneas distintas. Gana el jugador que retira el último palillo.
Una variante más sencilla es el juego de La margarita, donde los palillos se distribuyen de forma circular y cada jugador retira uno o dos, hasta que gana el jugador que retira el último.
Este juego es muy interesante para pensar. En español se traduciría literalmente como «puntos y cajas», y de hecho es algo así. Empezamos con una distribución de puntos como la siguiente:
Distribución de 4×4 puntos
Cada jugador va uniendo puntos mediante segmentos horizontales o verticales. Por ejemplo:
Una vez se encierra un cuadrado, el jugador obtiene un punto, y vuelve a trazar una línea. Una vez completadas todas las líneas, gana el jugador que obtiene más puntos. Hay que ir con cuidado y ganar las zonas de mayor extensión.
En esta partida, por ejemplo, ahora jugaría el jugador azul y podría conseguir los seis cuadrados restantes, venciendo por 8-1. ¿Veis cómo?
Este juego es extraordinario por su sencillez pero en cambio tiene un gran contenido matemático detrás, que merecerá ser estudiado en otras entregas. Empezamos con un conjunto de puntos arbitrario pero pequeño (por ejemplo, tres):
Cada jugador trazará una línea que puede conectar dos puntos, o bien un punto consigo mismo. Una vez trazada se podrá dibujar un nuevo punto (brote) en ella. La línea ha de cumplir con las siguientes condiciones:
Puede ser recta o curva, pero nunca podrá cruzar otra línea ni a sí misma.
No puede pasar por otros puntos que no sean los extremos (inicio y fin).
En un punto no pueden incidir más de tres líneas. Cuando ocurre eso se dice que el brote está «muerto».
Gana el jugador que pueda realizar el último movimiento.
Primera jugada – A
Primera jugada – B
Fijémonos que ahora ya hay un brote muerto, y otro del que sólo puede salir una línea.
Después de dos jugadas
Ahora ya queda muy poco margen porque la mayoría de brotes ya están muertos.
Tras tres jugadas
Ahora sólo queda un movimiento disponible, por lo que ganará el primer jugador.
Final de partida
Quedan dos brotes que no están muertos, pero es imposible conectarlos porque uno de ellos está encerrado.
Hex
Este juego es conocido porque fue inventado por el gran John Nash, premio Nobel de Economía en 1994 y protagonista de la película Una mente maravillosa.
En este juego hay una superficie hexagonal (de ahí el nombre), en el que dos jugadores intentan conectar dos extremos opuestos del tablero.
Tablero de Hex
Cada jugador rellena alternativamente una de las casillas, intentando conectar los dos bordes tal como se ha comentado. Gana el jugador que lo consigue.
Y por el momento lo dejaremos aquí. Hay muchos juegos interesantes para clase o para días de lluvia, y estos cuatro que hemos comentado aquí son muy interesantes a nivel matemático. Quizá posteriormente haremos una entrega explicando alguna cosa más de estos juegos.
Dejadme comentarios con otros juegos que encontréis interesantes o qué os ha parecido. O si lo preferís, enviadme un correo a elabacodemadera@gmail.com. ¡Saludos!
Estaba buscando un tema para mi entrada número 100 (aunque este blog haya sido accidentado, con tantas paradas y arranques jejeje), y quería que el 100 fuese especial. Y reflexionando sobre diferentes temas, me he dado cuenta que no había hablado de uno de mis libros favoritos, y me parece mentira que no lo hubiese hecho aún. Así que vamos allá.
El libro se titula Planilandia (en inglés, Flatland), escrito por Edwin Abbott en 1884. Tal y como dice el título completo, Planilandia es una novela con muchas dimensiones. Sin querer destripar mucho el argumento, plantea cómo sería un mundo que en vez de tener tres dimensiones como el nuestro, fuera completamente plano, es decir, que sólo tuviera dos. Se muestran las dificultades que esto plantea y hace un dibujo de la sociedad que curiosamente y desgraciadamente es muy parecido al nuestro.
Edwin Abbott (1834-1926)
En la segunda parte de la novela, el personaje central de la historia, un cuadrado, viaja a otros mundos con diferentes dimensiones (Linealandia, Espaciolandia y mucho más), que recuerda mucho al dualismo platónico que se presenta en el Mito de la caverna. De la misma forma que el prisionero de la caverna queda estupefacto al conocer el mundo real, y no sólo las sombras que conocía antes, el cuadrado conoce mundos tridimensionales y de más dimensiones y no es capaz de creerlo ante el mundo que conocía hasta ese momento. Además de esta visión de un mundo de otras dimensiones, también es muy interesante la perspectiva de crítica social que se hace, ante unas clases muy estratificadas en la Inglaterra victoriana del siglo XIX.
Y lo mejor de todo esto es el contexto histórico en el que se sitúa esta novela: hace 130 años las matemáticas no estaban tan desarrolladas como ahora. Apenas se empezaba a hablar de geometría no euclidiana, faltaban muchos años para la teoría de la relatividad, ¡conceptos de dimensiones infinitas ya ni hablemos! Y además de todo eso, al contrario de lo que podríamos pensar, Abbott era un hombre «de letras»: especializado en teología, gramática, etc.
Una visión de Linealandia
Son 100 páginas de puro arte y una de mis mayores recomendaciones. Si lo leéis ya me daréis alguna reseña y me decís qué os parece. ¡Saludos!
Mi entrada de hoy en el blog será algo diferente. Os voy a contar una anécdota personal y cómo se relaciona con las matemáticas.
Esta semana pasada me fui de viaje a Praga, una ciudad de las más bonitas que conozco, y muy recomendable de ver (era mi cuarta visita aunque la anterior ya fue hace más de 15 años). Decidí coger un libro para leer durante el viaje de ida en el avión (que además salió con casi una hora de retraso, que estuvimos dentro del avión), y el libro que había escogido fue Rebelión en la granja, de George Orwell, gran libro y que tenía muchas ganas de releer.
Pues bien, la curiosidad es que vi que la chica que se sentaba a mi lado en el avión también estaba leyendo Rebelión en la granja, aunque en este caso, una edición bilingüe inglés-checo. Y me puse a pensar: ¿cuál es la probabilidad de que la persona que esté a tu lado tenga el mismo libro?
«Todos los animales son iguales, pero algunos más iguales que otros»
Así pues, pensemos: por un lado, si miramos la probabilidad matemática puramente, sería de uno entre el número total de libros que existen, y podría parecer que es algo extraño o incluso místico. Pero hay que ser realistas: las casualidades no lo son tanto muchas veces, el problema es que no entendemos la probabilidad y que nos gusta creer en el destino.
Hay muchas variables que condicionan este resultado probabilístico: no coger un libro demasiado grande para llevar en la maleta, libro mundialmente conocido, y que podría haber habido coincidencias en otras muchas cosas: ropa, gustos musicales, nombre, etc. De hecho, la probabilidad de tener alguien conocido en común con la persona que tienes al lado de un avión ya es de un 1,5%.
A esto se le suma lo que se conoce como la Ley de los Grandes Números, que básicamente viene a decir que cualquier suceso, por improbable que sea, acaba sucediendo si se repite un experimento aleatorio suficientes veces. De esto ya hablamos en su día con las Martingalas para hacerse millonario.
Así pues, nos acordamos de un detalle concreto, como es tener al lado a una persona que lee el mismo libro que tú en un avión, pero no de todas las veces que vamos en el metro, tren, autobús, etc. y la persona de al lado está leyendo otro libro o haciendo otras cosas, y por eso, a esa cosa extraordinaria le damos un valor mágico cuando en realidad no lo tiene tanto.
En esto se basa la que se conoce como «Paradoja del cumpleaños», que quedará para otra entrada del blog.
De la misma forma, muchas veces conocemos a alguien y hablando vemos que tenemos algo en común o que conocemos a alguien en común. Esto suele parecer muy extraño pero en realidad, podemos tener muchas cosas parecidas que hacen más frecuentes estas casualidades: edad, aficiones, estudios, etc. Por todo ello, debemos relativizar las casualidades, aunque por mi parte, en algunos casos me seguirá gustando pensar que hay algo detrás de ellas.
Han pasado casi dos años y medio desde la última entrada, y una vez más, el tiempo hizo que no pudiera seguir actualizando. Las rutinas y algunas responsabilidades que he ido teniendo han hecho que tuviera que dejar esto aparcado.
Sin embargo, a diferencia de la vez anterior, decidí seguir manteniendo el dominio, porque hay gente que visita a menudo este blog (incluso sin actualizarse). De hecho, he comprobado con gran satisfacción que hará un par de meses el blog llegó a las 100.000 visitas, con un promedio de 100 visitas diarias. Gracias a todos los que habéis ido visitando esto, y muy especialmente a toda la comunidad de Latinoamérica que lo consulta muy frecuentemente.
Vamos con la tercera entrada sobre matemáticas y ajedrez. Hoy nos plantearemos cuál es el número de partidas que pueden llegar a existir. Se oye a menudo la siguiente afirmación:
Existen más partidas de ajedrez posibles que átomos en el universo
¿Es esta afirmación cierta? Lo estudiaremos a continuación…
.
.
, y y sabemos que es falso por el Teorema de Pitágoras. El problema viene porque el área comprendida entre la línea marrón y la diagonal cada vez es menor, y eso nos hace pensar que las líneas también serán iguales (pero no es así).
y como hipotenusa 
.
.
, y la suma total, por tanto, 
, y 
.
. Ahora, lo ponemos dentro de un cuadrado. Cada lado del cuadrado es 1, por lo tanto su perímetro es 4. Y de la misma forma que antes, vamos recortando las esquinas. Esto da lugar al siguiente meme que hace años que corre:
. De la misma forma, si hacemos rectángulos como en la imagen, podemos obtener difrentes caminos mediante líneas quebradas para unir el vértice superior y el vértice de la derecha. En cada una de estas líneas quebradas, la suma de todos los tramos verticales es 3 y la suma de los tramos horizontales es 4, por lo que la longitud total sería 7.
El Ábaco de Madera 