Matemáticas y ajedrez (3): ¿Cuántas partidas se pueden jugar?

Vamos con la tercera entrada sobre matemáticas y ajedrez. Hoy nos plantearemos cuál es el número de partidas que pueden llegar a existir. Se oye a menudo la siguiente afirmación:

Existen más partidas de ajedrez posibles que átomos en el universo

¿Es esta afirmación cierta? Lo estudiaremos a continuación…

Ajedrez

Tal y como vimos en la primera entrega, después de las primeras jugadas el número de posibilidades se dispara, llegando a haber más de 100 millones de partidas diferentes después de tan solo 3 jugadas.

Obviamente, con una cantidad tan grande de movimientos, es totalmente imposible hacer un cálculo exacto a medida que se van avanzando jugadas. Sin embargo, sí podemos hacer una estimación más o menos aproximada.

Es lo que hizo Claude Shannon, uno de los padres de la informática tal y como la conocemos hoy en día. Supuso que, aproximadamente, en una partida de ajedrez se tienen 30 jugadas posibles en un momento dado. Con eso y, suponiendo también que en una partida de ajedrez “normal” hay aproximadamente 40 jugadas (es decir, 40 movimientos de blancas y 40 de negras, o sea 80), calculó que hay 10^{120} posibilidades diferentes.

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Claude Shannon

Para llegar a esta situación, el cálculo que hay que hacer es el siguiente: Si hay 30 movimientos posibles para el blanco, y luego 30 para el negro, esto hace un total de 30·30=900 posibilidades. Si consideramos también los siguientes 30 del blanco, serían 30·30·30=27000. Considerando 40 jugadas, serían 80 movimientos en total (40 de cada bando), por ello, nos saldría un total de 30^{80} = 10^{120}

Para hacerse una idea de la inmensidad de este número, vamos los siguientes cálculos. El universo tiene alrededor de 10^{23} estrellas. Una estrella de tamaño medio, como el Sol, tiene una masa de 10^{30} kilogramos. Por lo tanto, estaríamos hablando que el Universo tiene una masa de 10^{23} \cdot 10^{30} = 10^{53} kilogramos. Esta cantidad, en gramos sería 10^{56}. Y como un gramo de materia tiene, en general, 10^{24} átomos (la gran mayoría es hidrógeno), tendremos que en total hay alrededor de 10^{80} átomos en el Universo!

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Sin embargo, ¡la verdad es que Shannon se quedó muy corto! Recordemos el artículo sobre la partida más larga, en el que vimos que la partida más larga del mundo tenía 8849 jugadas es decir, que en total serían 17698 movimientos. Por tanto, siguiendo un razonamiento parecido al de Shannon, concluiríamos que, en total, hay 30^{17698} posibles movimientos, es decir, que estaríamos en torno a ¡10^{26000} posibles partidas de ajedrez!

Sin embargo, alguno dirá que esto no es realista, porque incluye jugadas y posiciones absurdas. Pues bien, supongamos ahora que una partida dura 60 jugadas, que es la medida estándar que usa la FIDE en sus reglamentos. Es decir, 120 movimientos. Y supongamos también que, en vez de las 30 posibilidades, nos quedamos sólo con las 2 mejores opciones en cada posición. Esto nos daría un total de 2^{120} = 10^{36} posibilidades, algo así como un “sextillón”.

Si pusiéramos a todos los ordenadores del planeta a reproducir posiciones (se calcula que hay 2.000 millones en el mundo), de manera que almacenasen cada una de estas partidas posibles en cada segundo (cosa que habría ver si es posible, también), ¡tardarían 10 trillones de años en conseguirlo!

Así pues, el ajedrez no tendrá, parece, una fórmula matemática que determine una victoria segura siempre, ¡habrá que seguir estudiando para mejorar!

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