Matemáticas y ajedrez (1): ¿Cuántas aperturas hay?

He decidido crear una nueva sección de mi blog, que se llamará “Matemáticas y ajedrez”. Intentaré que tenga una periodicidad mensual, y en ella comentaré algunas relaciones entre mis dos principales aficiones: el ajedrez y las matemáticas.

Ajedrez.jpg

 

Una de las ramas que más me apasionan dentro de las matemáticas es la combinatoria, es decir, el recuento de posibilidades cumpliendo determinadas propiedades que reúne un conjunto. En este primer artículo empezaremos a intentar responder a la pregunta: ¿cuántas posibles partidas existen? Antes de responder a esta pregunta, es interesante plantearse cuántas posiciones aparecen después de los primeros movimientos de la partida, y también cuántas secuencias de jugadas diferentes aparecen en ellas.

Partimos de la posición inicial de una partida, que es esta:

inicial.png

En esta posición comienzan las blancas, que tienen un total de 20 posibles jugadas: 16 jugadas de peón (cada peón puede mover una o dos casillas), y 4 movimientos de caballo (el caballo de la casilla b1 puede mover a las casillas a3 y c3, mientras que el caballo de la casilla g1 puede mover a las casillas f3 y h3).

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De la misma forma, las negras también tienen 20 posibilidades en su primera jugada, 16 jugadas de peón y 4 jugadas de caballo (en este caso, el de b8 puede ir a las casillas a6, c6, y el de g8 puede ir a las casillas f6 y h6).

Por lo tanto, después de la primera jugada de blancas y negras hay un total de 20 · 20 = 400 posiciones posibles (y también secuencias de jugadas posibles).

Después del segundo movimiento de las blancas la cosa se complica bastante más, dado que en función de la primera jugada aparecen más posibilidades. Por ejemplo, no es lo mismo mover un peón central (que permite mover luego la dama, el rey o algún alfil), que mover uno de los peones de los extremos (que sólo permite mover la torre en línea recta).

A continuación se muestra un cuadro donde se exploran las diferentes posibilidades, tanto del número de posiciones diferentes como de secuencias de jugadas diferentes. Por ejemplo 1. Cf3 d5 2. c4 y 1.c4 d5 2. Cf3 llevan a la misma posición, pero son secuencias diferentes. No pongo los cálculos completos para no atormentar al lector, pero si a alguien le interesa me lo puede hacer saber y le pasaré la información.

Piezas movidas por blancas Nº de Posiciones Nº de Secuencias
Dos peones diferentes 2240 4480
Dos veces el mismo peón 326 326
Un peón y un caballo 1280 2400
Un peón y una torre 120 120
Un peón y un alfil 556 556
Un peón y la dama 340 340
Un peón y el rey 120 120
Dos veces el mismo caballo 220 320
Dos caballos 80 160
Caballo y torre 80 80
TOTAL 5362 8902

Por lo tanto, después de tres movimientos (dos del blanco y uno del negro), ¡tenemos 8902 secuencias de jugadas diferentes! El cálculo se complica ya que cuenta con múltiples variantes para las siguientes jugadas, así que aquí mostramos los resultados directamente

Nº Jugadas Nº Posiciones Nº Secuencias
1 Blancas 20 20
1 Negras 400 400
2 Blancas 5.362 8.902
2 Negras 71.852 197.281
3 Blancas 815.677 4.865.609
3 Negras 9.260.610 119.060.324
4 Blancas 94.305.342 3.195.901.860
4 Negras 958.605.819 84.998.978.956

Ya podéis apreciar que la cantidad de posibilidades tras las primeras jugadas es descomunal. Afortunadamente, sólo hay algunas posibilidades buenas tras las primeras jugadas, así que no hay que estudiar tanto.

A partir de aquí, y para profundizar más en la pregunta que planteábamos al principio (cuál es el número máximo de partidas de ajedrez que existen), el próximo día intentaremos averiguar cuál es la longitud máxima de una partida.

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2 comentarios en “Matemáticas y ajedrez (1): ¿Cuántas aperturas hay?

  1. […] hablamos de la relación entre matemáticas, ajedrez y educación, a raíz de mi artículo sobre Ajedrez y matemáticas de hace unos días. Espero que os guste, aunque creo que, por los nervios y por llevar poco […]

  2. […] y como vimos en la primera entrega, después de las primeras jugadas el número de posibilidades se dispara, llegando a haber más de […]

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