Un nuevo número primo de Mersenne

Buenas, en estos días en los que se está comentando en todas partes el maravilloso descubrimiento de ondas gravitacionales por parte de los investigadores del LIGO, que formará parte de la historia científica, a mí me gustaría hablar de un descubrimiento matemático que no tuvo tanto revuelo, pero que también fue importante, y que se logró hace un mes: el descubrimiento del 49º número primo de Mersenne.

mersenne49.jpg

Para empezar, recordemos algunos conceptos: un número primo es aquel que solamente es divisible por él mismo y por la unidad. Por ejemplo, el 2, el 7 o el 41 son números primos.

¿Cómo saber si un número es primo o no? Ahora hay procedimientos más avanzados, pero el primero de todos y más sencillo es el que conocemos como criba de Eratóstenes.

Vamos a intentar ver qué números primos hay del 1 al 100, primero hacemos la lista. Luego, vamos seleccionando los números primos (en amarillo) y vamos eliminando los números múltiplos de cada número primo. Así, descartamos los números pares, que son múltiplos de 2 (en naranja), los múltiplos de 3 (en lila), los múltiplos de 5 (en azul), y los múltiplos de 7 (en verde). Seguiríamos con el 11, el 13, etc. si la lista fuese más extensa.

Los números que han quedado en amarillo o en blanco son los primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

¿Y cuántos números primos existen? Euclides demostró, en el siglo III a.C., que la lista de números primos es infinita, con una demostración bastante parecida a esta:

Supongamos que no es verdad, es decir, que hay un número finito de números primos. Entonces, formarán parte de una lista: p_1, p_2, \dots, p_n. Si los multiplicamos todos ellos y sumamos 1, tendremos otro número: M = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n + 1.

Entonces, si P es primo, no sería ninguno de los elementos de la lista, porque es mayor que todos ellos, y entonces tendríamos un número primo nuevo y esto demostraría la infinitud. Si por el contrario, P es compuesto, tendrá que haber algún número primo de los anteriores que divida a M. Pero entonces, también tendría que dividir a M -p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n = 1 Pero esto es absurdo, porque ningún número primo divide a 1. Por tanto, el conjunto de números primos es infinito.

El hecho de que este conjunto sea infinito hace que, desgraciadamente, no podamos saber cuáles son estos números primos, y sobretodo, es difícil saber, de forma fácil, si un número muy grande es primo o no (la criba de Eratóstenes es un método demasiado lento). De todas formas, esto es una propiedad muy importante que se está usando en algunos campos de la ciencia y la tecnología, pero ya hablaremos de eso otro día.

Ya en el siglo XVII, otros matemáticos como Pierre de Fermat y Marin Mersenne profundizarían más en el estudio de los números primos. El primero de ellos, Fermat, mostraría el resultado que se conoce como Pequeño Teorema de Fermat.

fermat

Pierre de Fermat (1601-1665)

Si p es un número primo, entonces para cada número natural a>0 se cumple que a^p \equiv a (\mod p)

 Dicho de otra forma, significa que a^p-a es divisible entre p.

Por ejemplo:

  • 5 es primo, por lo tanto,  8^5-8 = 32760 que es divisible entre 5.
  • 7 es primo, por lo tanto, 4^7-4=16380, que es divisible entre 7

Fermat se intercambió cartas con Marin Mersenne, que estudió los llamados números primos de Mersenne. Son aquellos de la forma 2^n -1, donde n es también un número primo. Los primeros de estos números son:

  • El primero, con n=2, 2^2-1=3
  • El segundo, con n=3, 2^3-1=7
  • El tercero, con n=5, 2^5-1=31
  • El cuarto, con n=7, 2^7-1=127
  • El quinto, con n=13, 2^{13}-1=8191
mersenne_3

Marin Mersenne (1588-1648)

A partir de aquí la cosa ya se empieza a hacer enorme, y por ejemplo el décimo número de Mersenne tiene 27 cifras, es 2^{89}-1, o sea 618.970.019.642.690.137.449.562.111, y llega un momento en que sólo se pueden encontrar mediante ordenador.

En los últimos años la GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) ha estado dedicándose, mediante métodos informáticos, a encontrar cada vez números primos de Mersenne mayores. Incluso, si queréis colaborar con la búsqueda, os podéis descargar un pequeño programa que usa vuestro ordenador para ir probando números de Mersenne y comprobando si son primos o no.

El pasado 7 de enero de 2016, Curtis Cooper consiguió encontrar el número primo de Mersenne número 49, que es el resultante de la operación: 2^{74207281}-1. No os voy a escribir el resultado aquí, más que nada porque tiene 22338618 cifras, pero si a alguien le hace ilusión, se puede descargar un archivo (¡de más de 10 MB!) que contiene este número aquí.

Y algunos pensaréis, ¿y esto para qué sirve? ¿Es que los matemáticos no tienen nada mejor que hacer? Pues bien, el hacer este tipo de cálculos mediante ordenadores es un excelente test de estrés para probar ordenadores en situaciones donde el procesador tiene que trabajar mucho. De hecho, mediante el cálculo durante 31 días de este número primo se descubrió un bug en un procesador de Intel.

Y ayer, pensando en esto y mientras veíamos con los alumnos un interesante documental sobre Pitágoras, vimos un resultado muy interesante que Euclides recogía en su libro IX de Los Elementos, Proposición 36:

Si 2^n -1 es un número primo, entonces 2^{n-1} \cdot (2^n -1) es un número perfecto.

Recordemos que un número perfecto es aquel cuyos divisores suman el propio número, por ejemplo el 6 = 1+2+3 o el 28 = 1+2+4+7+14.

Así pues, con nuestro número de Mersenne podemos encontrar también un número perfecto, que será 2^{74207280} \cdot (2^{74207281}-1), un número con más de 44 millones de cifras, y otra vez, si a alguien le hace ilusión, aquí tenéis el archivo, en este caso de 20 MB, con el número de marras.

Por si a alguien le interesa, ya se está buscando el siguiente, y de hecho, se ofrece una recompensa de 150.000 dólares para quien sea capaz de encontrar un número primo de Mersenne con más de 100 millones de cifras. Así que ya sabéis, ¡a trabajar!

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