Solución al problema de la semana (22): El roscón de Reyes

Muy buenas, si habéis entrado en el blog durante los últimos días, veréis que modifiqué el enunciado del problema. La verdad es que se me fue bastante la mano, y era complicadísimo de resolver. Así que cambié un poco el enunciado, de manera que no fuese tan difícil.

El enunciado era: En vez de encargar el roscón de Reyes a la pastelería, este año se ha encargado de hacerlo mi hermano (y por cierto, le ha quedado muy bien). En el roscón había fruta confitada: 8 guindas rojas, 4 trozos de naranja, 4 de pera y 4 de melón. Queremos colocar la fruta alrededor del pastel. ¿De cuántas maneras diferentes lo podemos hacer?

tortell_2008

Hay que tener en cuenta que la posición de cada fruta en el pastel será única (es decir, que no tenemos que considerar como iguales las posiciones donde haya las frutas en el mismo orden, pero empezando desde otro lugar del roscón), dado que, al tener el roscón el haba y el rey escondidos, cada posición es única. Si las 20 frutas fuesen distintas, el resultado sería 20!, pero dado que hay 8 guindas y 4 frutas de cada uno de los otros tipos, nos encontramos con que el número total de combinaciones es:

$\latex \displaystyle P_{20;8,4,4,4} = \frac{20!}{8!4!4!4!} = 4.364.860.500$

Por lo tanto, más de 4.000 millones de posiciones diferentes.

 

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