Solución al problema de la semana (1): Send more money

Muy buenas a todos,

Hoy es sábado, y a partir de ahora, los sábados publicaré las soluciones a los problemas de la semana anterior (que salen los domingos). Si recordáis, se trataba de encontrar valores para las letras en la suma:

\begin{tabular}{r} SEND\\ +MORE\\ \hline MONEY\end{tabular}

Hay dos maneras de hacerlo: una es mediante “la cuenta de la vieja”, es decir, probando números para las letras hasta que sale. Otro método sería planteando ecuaciones. Como en matemáticas normalmente intentamos ser formales, optaré por el segundo método. Hay que seguirlo despacio, y se entenderá

En primer lugar, podemos ver que M=1, ya que no puede ser 0 (no tendría sentido que el resultado tuviese 4 dígitos y le pusiéramos un 0 delante). Tampoco puede ser 2, porque si sumamos dos números de una cifra el resultado más grande que nos puede dar es 9+9=18. Por lo tanto, ya tenemos una incógnita resuelta: M=1

\begin{tabular}{r} SEND\\ +1ORE\\ \hline 1ONEY\end{tabular}

Ahora podemos buscar un valor para la S. Hay que tener en cuenta que, para que el resultado de la última suma sea mayor que 10, como M=1, entonces sólo hay dos posibilidades: o S=8 (8+1+1 que me llevo = 10), o bien S=9 (ya sea porque 9+1=10 o porque 9+1+1=11).

Si S=8, entonces forzosamente O=0, pero entonces “me llevo una” de la suma de antes, pero como O=0, entonces con el mismo razonamiento de antes, E=9 (8 no puede ser porque lo hemos gastado con la S). Pero si E=9, entonces N=0, pero el 0 ya lo habíamos gastado con la O. Llegamos a un callejón sin salida, por tanto, S=9.

\begin{tabular}{r} 9END\\ +1ORE\\ \hline 1ONEY\end{tabular}

Hemos dicho que si S=9 había dos posibilidades, que fuera 9+1=10, o 9+1+1 que me llevo = 11. Pero está claro que la segunda no puede ser, porque eso haría que O=1, y el 1 lo hemos gastado para la M. Por tanto, tenemos que O=0

\begin{tabular}{r} 9END\\ +10RE\\ \hline 10NEY\end{tabular}

Sigamos adelante. Dado que tenemos una E, un 0 y una N, eso implica que aquí me llevo una (sino, habría la misma letra). Por tanto, podemos tener la ecuación E+1=N. Ahora se nos plantean dos posibilidades: que la suma de las unidades sea mayor que 10 (lo que nos daría la ecuación D + E = 10 + Y, y por lo tanto, también N + R + 1 = 10 + E), o que no lo sea (lo que daría las ecuaciones D+E=Y, y N + R = 10 + E).

Si fuera menor que 10, como N + R = 10 + E, y teníamos que E+1=N, por sustitución, E+1+R = 10 + E, lo que nos daría que R=9, y esto no puede ser porque S=9. Por lo tanto, la suma es positiva, y tenemos estas tres ecuaciones: E+1=N, N+R+1=10+E, D+E=10+Y

Por sustitución, obtenemos que E+1+R+1 = 10 + E, y obtenemos que R=8

\begin{tabular}{r} 9END\\ +108E\\ \hline 10NEY\end{tabular}

Dado que D+E da una suma mayor que 10, esto implica que al menos uno de ellos es mayor que 5 (o quizá ambos). Recordemos, también, que el 9 y el 8 ya los hemos gastado, lo que nos deja las siguientes posibilidades: 7+6=13, 7+5=6+6=12, 7+4=6+5=11, 6+4=5+5=10. Las posibilidades de 10 y 11 las podemos descartar, dado que Y no puede valer ni 1 ni 0. Tampoco podemos usar la variante 6+6 (no pueden ser iguales). Por lo tanto, tenemos dos posibilidades: 7+6 o 7+5.

A continuación podemos ver que E no puede ser 7, ya que E+1=N=8, y el 8 ya lo hemos gastado. Por lo tanto, D=7

\begin{tabular}{r} 9EN7\\ +108E\\ \hline 10NEY\end{tabular}

Y ahora, E puede ser 5 o 6. Pero 6 no puede ser, porque E+1=N=7, y el 7 lo acabamos de gastar. De aquí deducimos que E=5

\begin{tabular}{r} 95N7\\ +1085\\ \hline 10N5Y\end{tabular}

Ahora, ya estamos, porque 7+5=12, y por tanto Y=2, y como E+1=N=6, ya tenemos que N=6

\begin{tabular}{r} 9567\\ +1085\\ \hline 10652\end{tabular}

Ya estamos. Propuse un problema bonus, que era este:

\begin{tabular}{r} DELE\\ +TODO\\ \hline ADIOS\end{tabular}

Me he puesto a hacer el problema, y me he dado cuenta de que tiene 4 soluciones:

\begin{tabular}{r} 6878\\ +9464\\ \hline 16342\end{tabular}

\begin{tabular}{r} 7868\\ +9474\\ \hline 17342\end{tabular}

\begin{tabular}{r} 6787\\ +9565\\ \hline 16352\end{tabular}

\begin{tabular}{r} 8767\\ +9585\\ \hline 18352\end{tabular}

Saludos y hasta mañana!

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4 comentarios en “Solución al problema de la semana (1): Send more money

  1. la leche gracias tio
    haora tengo un punto mas en el examen

  2. A mi tmb me da otro resultado:
    9567
    +1085
    ————
    10652

  3. Mi papá hizo que resolviera ese problema a la edad de 13 años. Me pasé toda la noche y en la mañana, antes de ir a la escuela, le entregué el resultado en una servilleta. Me gané $200 y desde entonces siempre que me hace falta dinero pienso en ese problema y cómo pude resolverlo gracias a que había una motivación. Ahora tengo 26 años y justo hoy me acordé y jamás lo había buscado en internet.

    No sé, quería compartir ese recuerdo!
    Saludos!

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