Solución al problema de la semana (5): Caballo regalado

Muy buenas, hoy sábado toca solucionar el problema de la semana anterior, aquél de los caballos. Recordemos el enunciado:

Un monarca oriental regaló caballos a sus tres vecinos, el rey de Aulnia, el rey de Bizania y el rey de Ciria. Había regalado a cada rey el mismo número de caballos (inferior a 200)

Sin embargo, el rey de Aulnia le envió una carta agradeciéndole los 222 caballos que le había regalado; el rey de Bizania le envió una carta agradeciéndole los 66 caballos recibidos, y el rey de Ciria por los 22 caballos. Los tres reyes sabían contar y ningún caballo había sido robado.

¿Cómo se pueden explicar estos números tan diferentes? Si hubieras contado tú mismo los caballos, ¿cuántos caballos habrías contado?

A continuación, la solución a este problema…

Tal y como comenté, había que consultar una de las entradas anteriores, concretamente, la de sistemas de numeración. Evidentemente, en estos tres países usan sistemas de numeración con bases diferentes. Para saber cuántos caballos se han regalado en total, tendremos que descubrir en qué bases están esos números.

Llamaremos A a la base de Aulnia, B a la base de Bizania y C a la base de Ciria. Según Aulnia habían sido 222 caballos, según Bizania 66 y según Ciria 22. Como las tres cantidades, en las diferentes bases, han de ser iguales, tenemos la siguiente ecuación:

2A^2 + 2A + 2 = 6B+6=2C+2

Despejando con la primera igualdad, obtenemos que:

2A^2 +2A -6B -4 = 0 \longrightarrow A^2+A -3B-2=0

Con la fórmula de la ecuación de segundo grado, obtenemos:

\displaystyle A=\frac{-1 \pm \sqrt{12B + 9}}{2}

Como A es una base, ha de ser un número entero positivo, por lo tanto, el discriminante de la ecuación, 12B + 9, ha de ser un número cuadrado perfecto. Por lo tanto:

12B + 9 = N^2 \longrightarrow 12B=N^2-9 = (N+3)(N-3)

Como el producto (N+3)(N-3) ha de ser múltiplo de 12, esto significa que los dos factores han de ser pares, y por tanto N ha de ser impar. Pongamos que N=2k+1

12B = (2k+4)(2k-2) =4(k+2)(k-1)

3B=(k+2)(k-1)

Como el producto ha de ser múltiplo de 3, k es de la forma 3p+1. Por lo tanto:

3B=(3p+3)(3p) \longrightarrow B=3p(p+1)

Si p=1, entonces B=6, lo cual no puede ser, porque si hablaban de 66 caballos, la base sería como mínimo 7. Si p=2, obtenemos que B=18, C=56, A=7. Si p=3, tenemos que B=36 y por lo tanto habrían recibido 6 \cdot 36 + 6 = 222 caballos, pero no puede ser porque envió menos de 200.

Por lo tanto, queda claro que en Aulnia usan base 7, en Bizania base 18, y en Ciria base 56. Y por tanto, podemos concluir que el rey regaló a cada uno de los países un total de 114 caballos.

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