Solución al problema de la semana (21): Un nuevo año

Buenas, soluciono los cuatro problemas que había dejado planteados esta semana:

new_year_wallpaper_2013-8

1. A segundo por cada dígito escrito, tardaríamos 8052 segundos, o sea, 2 horas, 14 minutos y 12 segundos, es decir, que acabaríamos de escribir este número a las 16:05:12.

2. La suma de los primeros 2013 números naturales se puede calcular rápidamente con \displaystyle \frac{2013\cdot 2014}{2} = 2027091

3. Siguiendo un proceso similar al aplicado en el Problema de la semana 8, tendríamos un cero por cada 10 que apareciera (cada vez que hubiera 2 \cdot 5), dos ceros por cada 100 (4 \cdot 25), tres por cada 1000 (8 \cdot 125), y cuatro por cada 10000 (latex 16 \cdot 625$). En total, son 402 + 80 + 16 + 3 = 501 ceros.

4. En este problema había que hacer algo parecido al Problema de la semana 5. Es evidente que los tres pastores usan sistemas de numeración diferentes, y que Doroteo usa el sistema decimal. El sistema de numeración que usan estará entre 4 y 9 (no puede ser base 3 por las cifras que hay, ni base 10 porque sabemos que hay menos de 1000). Podemos ver, probando, que será una base menor que 8 (ya que \displaystyle 2013_8 = 1035, y por tanto mayor que 1000) , mientras que será una base mayor que 4 (porque $latex \displaystyle 2013_4 = 135, y por tanto menor que 200). Por tanto, los pastores cuentan en bases 5, 6 y 7. De hecho, Aurelio cuenta en base 7, Baudilio en base 6, y Cornelio en base 5 (dado que Aurelio tiene más ovejas que Baudilio, y este a su vez más que Cornelio).

Una vez sabido esto, calculando en las respectivas bases, podemos concluir que Aurelio tiene 696 ovejas, Baudilio tiene 441 ovejas, y Cornelio tiene 258 ovejas.

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