Buenas, soluciono los cuatro problemas que había dejado planteados esta semana:

1. A segundo por cada dígito escrito, tardaríamos 8052 segundos, o sea, 2 horas, 14 minutos y 12 segundos, es decir, que acabaríamos de escribir este número a las 16:05:12.

2. La suma de los primeros 2013 números naturales se puede calcular rápidamente con

3. Siguiendo un proceso similar al aplicado en el Problema de la semana 8, tendríamos un cero por cada 10 que apareciera (cada vez que hubiera ), dos ceros por cada 100 (), tres por cada 1000 (latex 16 \cdot 625$). En total, son 402 + 80 + 16 + 3 = 501 ceros.

4. En este problema había que hacer algo parecido al Problema de la semana 5. Es evidente que los tres pastores usan sistemas de numeración diferentes, y que Doroteo usa el sistema decimal. El sistema de numeración que usan estará entre 4 y 9 (no puede ser base 3 por las cifras que hay, ni base 10 porque sabemos que hay menos de 1000). Podemos ver, probando, que será una base menor que 8 (ya que , y por tanto mayor que 1000) , mientras que será una base mayor que 4 (porque $latex \displaystyle 2013_4 = 135, y por tanto menor que 200). Por tanto, los pastores cuentan en bases 5, 6 y 7. De hecho, Aurelio cuenta en base 7, Baudilio en base 6, y Cornelio en base 5 (dado que Aurelio tiene más ovejas que Baudilio, y este a su vez más que Cornelio).

Una vez sabido esto, calculando en las respectivas bases, podemos concluir que Aurelio tiene 696 ovejas, Baudilio tiene 441 ovejas, y Cornelio tiene 258 ovejas.