Solución al problema de la semana (8): ¿Cuántos ceros hay?

Muy buenas, sé que llevo días sin escribir y voy con retraso. La verdad es que tal y como han ido las cosas estos días, he tenido pocos ratos para ponerme delante del ordenador para escribir en el blog, y cuando lo he intentado, no tenía las fuerzas anímicas necesarias para escribirlo. Escribo la solución al problema 8 por obligación, pero, al menos por hoy, no pondré un nuevo problema, ya que aunque querría seguir con el blog, ahora mismo no tengo las energías suficientes para hacerlo.
El problema era muy sencillo: calcular con cuántos ceros acaba 1000!, o sea, 1000 factorial.

Bien, 1000 factorial, atendiendo a la definición, es multiplicar todos los números desde 1 hasta 1000. ¿Con cuántos ceros acabará este número monstruoso? Pues lo podemos calcular:

En primer lugar, tenemos en cuenta que 2 \cdot 5 = 10, por lo tanto, al multiplicarse un número par por un múltiplo de 5 obtendremos un cero. Dado que hay más pares que múltiplos de 5, contaremos estos últimos. En total, hay 200.

Además, tenemos que tener en cuenta que 4 \cdot 25 = 100, por lo tanto, habrá que contar un segundo cero cada vez que multipliquemos un múltiplo de 4 por un múltiplo de 25. Contamos los múltiplos de 25 y en total hay 40, que añadiremos a los 200 de antes.

Pero para seguir, tenemos que considerar que 8 \cdot 125 = 1000, y cada vez que multipliquemos un múltiplo de 8 por un múltiplo de 125 habrá que añadir un tercer cero. En total tenemos 8 múltiplos de 125 entre 1 y 1000, así que serán 8 ceros más.

¿Hemos acabado? No, todavía hay que considerar que 16 \cdot 625 = 10000, por lo que hay que añadir un cuarto cero por esta multiplicación.

Con esto, ya tenemos todos los casos, y podemos concluir que 1000! es un número monstruoso que acaba en 200+40+8+1 = 249 ceros.

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Un comentario en “Solución al problema de la semana (8): ¿Cuántos ceros hay?

  1. […] Siguiendo un proceso similar al aplicado en el Problema de la semana 8, tendríamos un cero por cada 10 que apareciera (cada vez que hubiera ), dos ceros por cada 100 (), […]

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