Tipos de números (3)

¡Saludos a todos! Aprovecho que hoy es un día festivo para una nueva entrada del blog. Cojo un tema que tenía aparcado para mi tercera entrega, que es el de los Tipos de números. Aquí y aquí podéis ver las entregas 1 y 2. Hoy voy a hablaros de los números “de autor”, es decir, aquellos números descubiertos por alguien o con nombre de algún matemático conocido.

Números de Fibonacci: Ya hablé en su día de ellos, y volveré a dedicar un largo escrito a ellos en breve. Fueron descubiertos por Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, y la secuencia empieza con dos unos, y luego la suma de los dos números anteriores, así: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… Ya expliqué, en una de las primeras entradas, la reproducción de los conejos y su relación con Fibonacci. Además, si dividimos dos números de Fibonacci consecutivos, vemos que a medida que avanzamos nos aceramos al número de oro (1.61803…), del que hablaremos en breve.

Números de Tribonacci: Son los mismos que los de Fibonacci, pero sumando de 3 en 3, de manera que queda la secuencia: 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81…

Números de Catalan: Estos números fueron descubiertos por el matemático belga Eugène Charles Catalan, y se forman de la siguiente fórmula:

\displaystyle \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}

Recordemos que \displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}, y recordemos también que $n!=n \cdot n-1 \cdot \dots 1$. Por ejemplo, 5! = 5 \cdot 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120, y además \displaystyle \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10

Así pues, la secuencia de los números de Catalan es la siguiente: 1, 2, 5, 14, 42… Estos números tienen una gran cantidad de aplicaciones en combinatoria, para resolver los siguientes problemas:

  • ¿De cuántas maneras distintas se pueden poner paréntesis en una secuencia de letras, de manera que haya dos letras dentro de un paréntesis? Es decir, si hay tres letras, abc, se podría hacer (ab)c o a(bc). Si hay dos letras es 1, si hay 3 la respuesta es 2, si hay 4 la respuesta es 5, etc.
  • ¿De cuántas maneras diferentes podemos abrir y cerrar paréntesis? Por ejemplo, en el caso de 3, podríamos hacer ()()() o (()()), por ejemplo. La respuesta son los números de Catalan.
  • ¿De cuántas maneras diferentes puedo descomponer un polígono regular en triángulos?
  • Si tengo una malla cuadrada, ¿cuántos caminos puedo seguir para recorrer la malla desde una esquina hasta la otra?

A todas estas preguntas, la respuesta viene con los números de Catalan. Hablaremos de ellos más adelante.

Números de Kaprekar: No confundir con la constante de Kaprekar, que ya os mencioné el otro día. Ahora hablamos de números que, si los elevamos al cuadrado, el resultado lo partimos en dos partes y las sumamos, nos queda el mismo número. Por ejemplo, 703^2 = 494209 y ahora, $494+209=703$. Algunos números de Kaprekar especiales son el 7777, el 142857 (ya veremos por qué es especial), el 1111111111.

Números de Lychrel: La mayoría de números, si les sumamos el mismo número invirtiendo las cifras, y repetimos el proceso, acaban dando un número capicúa. Por ejemplo, si cogemos el 726, tenemos que 726+627 = 1353; 1353 + 3531 = 4884. Lo podéis probar con cualquier número y, tarde o temprano, llegaréis. Excepto si tenéis un número de Lychrel, como el 196. El inventor fue el matemático Wade van Landingham, que le puso este nombre como anagrama del de su novia, Cheryl. De momento no se ha encontrado ningún número más, pero hay matemáticos que siguen usando ordenadores buscando alguno.

Números de Sophie Germain: En honor de su descubridora, la matemática francesa Sophie Germain, son números primos que, si se les multiplica por 2 + se les suma 1, dan otro número primo. El 2 es un número de Sophie Germain, porque 2 \cdot 2 + 1=5. El 3 también lo es, porque 2 \cdot 3 + 1 = 7. Al igual que en los casos anteriores, hay matemáticos (un poco frikis, para qué decirlo), que se dedican a buscar números de Sophie Germain muy grandes. El más grande encontrado, a fecha de hoy, es el 18543637900515 \cdot 2^{666667} - 1, que tiene en total 200701 cifras.

Hay infinidad de números con autor, de momento creo que he hecho una buena selección, seguiré otro día. ¡Saludos!

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