Sistemas de numeración

Hoy voy a hablar de un tema que será fundamental para resolver el problema que plantearé este domingo, para la próxima semana. Se trata de los sistemas de numeración, que deciden cómo contamos las cosas. Desde los egipcios, babilonios, mayas, todos han usado un sistema de numeración, ya sea contando con dedos, piedras o palitos. Ahora, en casi todo el mundo, se usa la base 10 pero también se usan otras bases como la base 2, la 8 o la 16 para la informática. Aquí haremos un recorrido histórico sobre los sistemas de numeración.

Aquí comienza el recorrido histórico por los sistemas de numeración…

La mayoría de sistemas de numeración han usado la base 10. ¿Por qué esto es así? Probablemente es porque tenemos diez dedos. De todas formas, se han usado otras bases, como base 60, 12 o 20.

Empezamos nuestro recorrido con Egipto. En Egipto se usaba la base 10, con símbolos para el 1, el 10, el 100, el 1000, etc. Si se quería poner, por ejemplo, el 2000, se ponía dos veces el símbolo para 1000. Los símbolos eran estos.

Si queremos escribir el número 7254, pondríamos 7 flores, 2 cuerdas, 5 talones y 4 varas. Se trata de un sistema de numeración aditivo, porque se añaden símbolos para más números.

Otro sistema aditivo es el griego, que funciona de manera similar al egipcio, pero con símbolos para el 5, el 50, etc. Son los siguientes símbolos:

Los babilonios usaban la base 60, con los símbolos con los que hemos introducido esta entrada (que van del 0 al 59). Se trata de un sistema de numeración posicional, porque para números más mayores se pone otro símbolo a la izquierda, según el número que corresponda. Por ejemplo, si queremos representar el 4341, como 4341 = 1 \cdot 60^2 + 12 \cdot 60 + 21 = 4341

Los mayas usaron un sistema parecido, pero con base 20, y además, tenían símbolos para el 5 que ayudaban a representar los números. Del 0 al 19 era así:

Para escribir números mayores que 20, se haría de manera similar a como lo hacían los babilonios, es decir, mirar su descomposición en base 20 y poner los símbolos correspondientes. Por ejemplo, para representar el 181 haríamos: 181 = 9 \cdot 20 + 1, por lo tanto pondríamos el símbolo para el 9 (cuatro puntitos y una raya) y debajo el símbolo para el 1 (un punto). Fijaos que también hay símbolo para el 0, y así se podrán poner números como el 80, el 120, etc.

Destacaremos también el sistema chino, que no es posicional pero tampoco es aditivo, y se considera híbrido. Es un sistema decimal, pero que incluye también los símbolos para 10, 100, o 1000. Por ejemplo, para representar el 5789, como se trata de 5789 = 5 \cdot 1000 + 7 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 9:

En Europa, se vino usando el sistema de números romanos, hasta que con la llegada de los árabes se pasó al sistema que usamos actualmente.

En definitiva, un sistema de numeración es un conjunto de símbolos para representar los números y las operaciones. Cada sistema de numeración tiene una base, y los números se representan así:

(N)_{b} = a_n \cdot b^n + a_{n-1} \cdot b^{n-1} + a_{n-2} \cdot b^{n-2} + \dots + a_0 \cdot b^0 + a_{-1} \cdot b^{-1}+\dots + a_{-p}\cdot b^p

Donde N es el número que queremos representar, b es la base, a_i son las cifras, n el número de cifras de la parte entera (menos uno) y p el número de cifras de la parte decimal.

Por ejemplo, (172,26)_{10} = 1 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0 + 2 \cdot 10^{-1} + 6 \cdot 10^{-2}

Por ejemplo, podemos ver que si 273 está en base 8, en realidad:

(273)_8 = 2 \cdot 8^2 + 7 \cdot 8^1 + 3 = 128 + 56 + 3 = 187

No entro en más detalles técnicos, ya que creo que con esto tenéis suficiente para el problema de mañana.

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Un comentario en “Sistemas de numeración

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