¿Por qué da 1089?

Hace un par de semanas os planteé un truco matemágico, en la entrada Matemagia con sumas y restas, en la que os pensabais un número, y haciendo algún juego con las cifras, sumas y restas, siempre da 1089. Concretamente, hacíamos esto:

  • Primero, teníais que pensar un número de tres cifras que no fuese capicúa, por ejemplo, el 931.
  • Luego invertíamos el orden de las cifras: 139
  • Restábamos el mayor al menor: 931-139=792
  • Luego invertíamos el orden de las cifras del resultado: 297
  • Sumábamos, y daba 1089. ¿Por qué?

A continuación, la solución del truco…

Bueno, usaremos algo de álgebra para explicar este truco.

  • Cualquier número de tres cifras se puede representar así: 100a + 10b + c, donde a, b y c son números de una cifra.
  • Si invertimos las cifras del número, tenemos este: 100c + 10b + a
  • Hacemos la resta: 100a + 10b + c - 100c -10b -a = 99a - 99c = 99(a-c)
  • Por lo tanto, el resultado que nos ha quedado es un múltiplo de 99. Los primeros múltiplos de 99 son: 99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891. Si sumamos cualquiera de estos a su inverso, nos da 1089. (si nos da 99, el inverso sería 990)
  • Por tanto, siempre nos quedará 1089, a no ser que sea capicúa, o sea, a=c, porque entonces el resultado de la resta sería 0.

Hace años, había un anuncio de Audi que mencionaba este truco matemágico, pero no he encontrado el vídeo. ¡Si alguien lo encuentra que me lo diga!

A tots els catalans, Bona Diada!

 

 

Autor: Carlos Giménez

Profesor de Matemáticas en secundaria. Licenciado en Matemáticas y con titulación en Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas. Árbitro Internacional de ajedrez, y con interés en conocer un poco más del mundo que nos rodea.

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