Muy buenas, estamos en un periodo bastante intenso por lo que a elecciones se refiere. Hoy se celebran las elecciones en Estados Unidos, y el día 25 tenemos elecciones en Catalunya. Quiero dedicar algunos días a explicar qué matemáticas aparecen detrás de los sistemas electorales, aprovechando que voy a empezar a explicar Estadística en 1º de Bachillerato.

Una pregunta que sale muy a menudo es: ¿cuál es el sistema electoral más justo? Pues J.K. Arrow, en el año 1951, demostró el que se conoce como Teorema de Imposibilidad de Arrow.

Entre otras cosas, veremos cuál es este teorema, y miraremos los sistemas electorales que se están usando.

Vamos a empezar poniendo un caso para demostrar que no hay un sistema justo. Vamos a suponer que en un pequeño pueblo hay 165 habitantes, y se presentan 5 candidatos a las elecciones para la alcaldía. Los electores escogen el orden en que quieren a los candidatos.

Vamos a proponer diferentes sistemas para decidir quién es el ganador de las elecciones:

• Parece que un buen sistema de elección es coger al que más votos ha recibido, en este caso, A, que ha recibido 54 votos en 1ª opción. Sin embargo, hay 111 que no lo prefieren, es decir, muchos más que los que sí. Este sistema se ha usado muchísimo (me viene a la cabeza las elecciones a delegado de clase).
• Otro sistema de elección que podríamos pensar es hacer una segunda vuelta, con los dos candidatos más votados. En países como Francia se usa este sistema para elegir presidente. En este caso, el ganador sería B, porque al eliminar los candidatos C, D y E, podemos ver que hay 54 que prefieren a A y 111 que prefieren a B.
• Otro sistema que se usa a veces (por ejemplo, este es el que se usa en algunos concursos televisivos que dependen de la votación de los telespectadores), es ir eliminando al peor candidato. Es decir, vamos eliminando al que tiene menos votos en primera opción, y así sucesivamente. En la primera votación, E sería el eliminado, por tener sólo 18 votos. Por lo tanto, quedan A, B, C y D, con 54, 48, 36 y 27 votos respectivamente (B y C cogen las dos últimas columnas por ser los siguientes). Eliminamos a D y quedan A, B y C, con 54, 48 y 63 votos respectivamente. Eliminamos a B y quedan A y C, con 54 y 111 votos respectivamente y eliminamos a A, por lo que el ganador es C.
• Un cuarto método, usado en concursos tipo Eurovisión o en las votaciones al Balón de Oro (por ejemplo), es el de otorgar puntos en función de la preferencia. En nuestro caso, daremos 5, 4, 3, 2 y 1 punto respectivamente. Según esto, el candidato A obtendría 381 puntos, el candidato B 438, el candidato C 486 puntos, el candidato D 573 puntos, y el candidato E 567 puntos. Por tanto, el ganador es D.
• El quinto método que proponemos es que salga elegido el que gane en el enfrentamiento directo con cada uno de los demás candidatos (si lo hay). En este caso, vemos que E gana a A por 117-54; gana a B por 99-66; gana a C por 108-57; y gana a D por 84-81. Por lo tanto, el ganador es E.

Por tanto, hemos propuesto cinco métodos diferentes para escoger al ganador de las elecciones y nos ha dado cinco ganadores diferentes. Los cinco sistemas parecen lógicos y sin embargo, nos dan resultados contradictorios. ¿Qué opináis? ¿Cuál es mejor?