El Teorema de Pitágoras

Muy buenas, en mis clases estos días me ha tocado hablar del teorema de Pitágoras. Es, probablemente, el teorema matemático más conocido, dado que tiene gran cantidad de aplicaciones geométricas. Además, es el teorema más antiguo que se conoce, y aunque se le atribuye a Pitágoras de Samos (siglo VI a.C), probablemente ya lo conocían los egipcios hace 4000 años cuando construyeron las primeras pirámides.

Seguramente es el teorema que más demostraciones diferentes tiene, como veremos a continuación. Hay gente que hasta las colecciona, mostraré aquellas que me han resultado más interesantes o que han influido más durante el desarrollo de las matemáticas.

Primero, el enunciado del teorema, que seguramente todos conocéis:

“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos”.

pitagoras1

En la figura que se adjunta, este teorema equivale a decir que el área del cuadrado azul es igual al área del cuadrado amarillo y el cuadrado verde juntas. Las demostraciones del teorema de Pitágoras más habituales consisten en probar este hecho.

A continuación, algunas demostraciones interesantes…

Esta es una primera demostración, habitualmente atribuida al propio Pitágoras. En ambas figuras hay un cuadrado grande, de lado b+c, por lo que el área es de (b+c)^2. A la izquierda, hemos puesto el cuadrado grande, de área a^2 (formado por la hipotenusa), rodeado por cuatro triángulos recángulos, de medidas b y c. A la derecha, hemos hecho otra composición, de forma que nos quedan los cuatro triángulos y los dos cuadrados pequeños, de lados b,c

demopitagoras1Por tanto, sumando las áreas de la izquierda, nos queda \displaystyle 4 \cdot \frac{b\cdot c}{2} + a^2 = 2bc + a^2, mientras que a la derecha, sumando las áreas, tenemos 2bc + b^2 + c^2 Por lo tanto, tenemos que 2bc + a^2 = 2bc + b^2 + c^2 y simplificando, a^2 = b^2 + c^2, lo cual nos da la fórmula que usamos habitualmente.

Para demostrarlo o ilustrarlo en clase, hace unos días vi este vídeo:

Otra demostración, la que mostró Euclides, que consistía en, mirando la figura adjunta, demostrar que el cuadrado verde tiene un área igual al rectángulo verde, y el cuadrado azul tiene el mismo área que el rectángulo azul. No entro en demasiados detalles para que la entrada no se me haga muy larga, pero la podéis consultar aquí.

demopita2

Más demostraciones, ahora os muestro otra demostración, del matemático hindú Bhaskara, que puso el gráfico que mostramos aquí debajo, y únicamente la palabra ¡Mira!miraSi b,c son los catetos del triángulo, el cuadrado blanco tendría como lado b-c, por lo que el cuadrado grande a^2 se podría poner como en la figura de la derecha. Si consideramos el cuadrado blanco y el rectángulo azul, y cortamos el rectángulo gris de manera que forme un cuadrado, tendríamos un cuadrado pequeño c^2, y un cuadrado grande de medida (b-c+c)^2 = b^2. Por tanto, podemos ver que a^2 = b^2+c^2

Seguimos, ahora, la del pintor, inventor y genio Leonardo da Vinci (que nació en un 15 de abril, igual que un servidor y que el matemático Leonhard Euler…). Creo que las imágenes lo dicen todo:

pitagoras_davinci

Una demostración interesante es la que mostró el vigésimo presidente de los Estados Unidos, James Garfield (1876)garfield

Esta figura es un trapecio, cuya área es \displaystyle \frac{a+b}{2} \cdot (a+b) (Si recordamos, el área de un trapecio es “suma de las bases entre dos y multiplicado por altura”). Además, podemos considerar que el área es la suma de tres áreas de triángulos rectángulos: \displaystyle 2 \cdot \frac{ab}{2} + \frac{c^2}{2}

Por tanto, igualando y arreglando las ecuaciones: \displaystyle \frac{1}{2}(a+b)^2 = ab + \frac{c^2}{2}, y ahora, desarrollando y pasando el 2 al otro lado: \displaystyle a^b + 2ab + b^2 = 2ab + c^2. Si nos cargamos el 2ab, queda el teorema de Pitágoras.

Para acabar, os dejo con una demostración que he encontrado investigando por ahí. ¿Alguna demostración más que conozcáis?

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Un comentario en “El Teorema de Pitágoras

  1. Martin diaz calvete

    Muchas gracias ,Necesitaba algo como esto creo que voy a hacer el del vídeo. Nuevamente Gracias
    MARTÍN

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