El número de oro

Prácticamente en los inicios de mi blog hablé de La sucesión de Fibonacci y los conejos. Os recomiendo encarecidamente visitar esta entrada del blog ya que trata de uno de los temas más interesantes que estudió Leonardo da Pisa, conocido como Fibonacci, en el siglo XIII.

Reproducción de los conejos
La reproducción de los conejos según Fibonacci

No hablaré mucho del tema pero simplemente comentaré que Fibonacci se fijó en la reproducción de los conejos para obtener la siguiente sucesión:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\dots

Como habréis podido apreciar, cada elemento de esta sucesión se obtiene a partir de la suma de los dos elementos anteriores. Esto se puede definir de forma recursiva con esta fórmula:

a_n = a_{n-1} + a_{n-2}

A partir de la sucesión de Fibonacci podemos mirar qué ocurre con las proporciones entre dos números consecutivos, y observamos lo siguiente:

\frac{1}{1} = 1

\frac{2}{1} = 2

\frac{3}{2} = 1.5

\frac{5}{3} = 1.666666666666666\dots

\frac{8}{5} = 1.6

\frac{13}{8} = 1.625

\frac{21}{13} = 1.61538461538\dots

\frac{34}{21} =1.61904761905\dots

\frac{2584}{1597} =1.6180338134\dots

Si vamos observando, las diferentes expresiones se van acercando cada vez más a un valor cercano a 1.618. De hecho, el número al que se acercan es el que conoce como número áureo o número de oro que responde a la siguiente expresión:

\displaystyle \Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}

Es un número irracional, es decir, que no se puede expresar como fracción de números enteros, o dicho de otra forma, que es un decimal no periódico. Sus primeros decimales son los siguientes:

\Phi = 1.6180339887498948482045868343656381177203\dots

Y todas las medidas que son proporcionales con esta razón, \Phi, se conocen como proporción áurea o divina proporción. Y esto es lo que se manifiesta en la reproducción de los conejos también aparece en otros aspectos de la naturaleza. Por ejemplo, en las espirales de un caracol nautilus cumplen que en cada parte las proporciones siguen las mismas que dos números de Fibonacci consecutivos:

nautilus
Caracol nautilus

Y no es el único. Veamos por ejemplo en algunas flores:

5cd515c02e23453c01850ff210264831
En un girasol confluyen dos espirales áureas

¿Que no os parece suficiente? Pues vamos a pensar a lo grande:

1920px-messier51_srgb
Galaxia M51, también conocida como Remolino

Pero cuidado, ¡el número áureo puede aparecer en los lugares más insospechados!

Imagen4
¡Un Donald Trump cumpliendo la divina proporción!

Bueno, bromas aparte, la verdad es que se manifiesta en muchos más sitios de lo que parece… pero para no extenderme más lo dejo para posteriores entregas, en las que también hablaré un poco más de las propiedades numéricas del número de oro. ¡Espero que os guste!

Autor: Carlos Giménez

Profesor de Matemáticas en secundaria. Licenciado en Matemáticas y con titulación en Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas. Árbitro Internacional de ajedrez, y con interés en conocer un poco más del mundo que nos rodea.

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