El juego del 2016

Hoy es el primer día del año 2016, ¡feliz año nuevo! Os brindo mis mejores deseos para todos, con la esperanza de que problemas como las guerras, la hambruna del mundo, el paro, la corrupción sean menores en el próximo año.

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Dicho esto, ayer planteé un pequeño reto, y recuerdo que era el siguiente:

Usando las cifras del año 2016, intentar formar los números naturales del 1 al 100. Están permitidas todas las operaciones matemáticas conocidas (suma, resta, multiplicación, división, potencia, raíz, factorial…) así como concatenar números. Por ejemplo, con el 2 y el 0, formar el 20.

ACTUALIZACIÓN: También se permite usar decimales, por ejemplo, 0.2 o incluso .2, sin poner el cero delante. También se permiten los decimales periódicos, por ejemplo, podemos escribir .\widehat{1}. No se permite, como me pedía alguno, usar funciones trigonométricas (más que nada, porque tendríamos que trabajar en radianes y no sé si nos serviría de mucho…)

ACTUALIZACIÓN 2: El doble factorial, n!!, es el producto de los números de 1 a n que tengan la misma paridad que n. Por ejemplo, 5!!=1 \cdot 3 \cdot 5, o sea, que sólo hay los números impares. O por ejemplo, 6!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 sería con los pares. De forma similar podríamos hacer el triple factorial, 6!!! = 3 \cdot 6, con los múltiplos de 3.

Podéis enviarme vuestras soluciones a través de los comentarios o vía correo electrónico (lo tenéis a mano derecha). Haced clic en “Continuar leyendo” para ver las soluciones, lo iré actualizando progresivamente…

YA ESTÁN PUBLICADAS LAS SOLUCIONES DEL 1 AL 10. ¡SEGUID EN ELLO!

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El retorno y feliz 2016

 

Muy buenas,

Ya hace casi 3 años que me tomé un “pequeño” periodo de reflexión y dejé de publicar en el blog. Pues bien, os anuncio que ¡he vuelto!

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La verdad es que escribir estas pequeñas entradas era una cosa que me motivaba bastante y que nunca quise dejar, pero las circunstancias no me permitían, entonces, dedicarle demasiado tiempo a esto.

El otro día, por curiosidad, entré en la aplicación del móvil de WordPress sobre las visitas que había recibido a lo largo de los últimos tiempos. Mi gran sorpresa fue que, sin haber escrito nada en 2014 y prácticamente nada en 2013, había recibido casi 20000 visitas al año. Me sorprendió mucho que tanta gente fuera a parar a un blog que llevaba muerto bastante tiempo. En 2015 ya había bastantes menos visitas, sobretodo porque al entrar al blog salía un mensaje molesto recordando que mi dominio, www.elabacodemadera.com, no estaba activado (cosa que, por cierto, ya he cambiado y ahora se puede acceder.

Me ha sorprendido ver la buena aceptación del blog sobretodo en Latinoamérica, habiendo recibido más de 6000 visitas desde México, ¡muchas gracias! Pero también he recibido visitas de muchos otros sitios como Colombia, Perú, Argentina, Chile, Ecuador… Muchas gracias a todos ellos por las visitas durante mi ausencia.

He decidido regresar, y aunque no sé con cuánta periodicidad podré publicar, intentaré ser más constante.

De entrada, os publico el primer problema, bastante obvio por la fecha por cierto, pero que no deja de ser interesante:

Usando las cifras del año 2016, intentar formar los números naturales del 1 al 100. Están permitidas todas las operaciones matemáticas conocidas (suma, resta, multiplicación, división, potencia, raíz, factorial…) así como concatenar números. Por ejemplo, con el 2 y el 0, formar el 20.

Saludos a todos, que paséis buena entrada de año y, ¡nos leemos en breve!

En obras hasta nuevo aviso

Buenas! Durante unos días, este blog estará en obras para remodelar.

En realidad, ahora mismo es un periodo difícil en el que me falta tiempo y energía para tirar esto adelante. La verdad es que últimamente ya sólo me quedaba tiempo para el problema de la semana, y últimamente ni para eso. Además, los próximos meses la situación será igual, así que supongo que lo mejor será aparcar esto durante un tiempo. Lamento tomar esta decisión, que no es la primera vez que me pasa, pero es así. Sólo espero haber ayudado a divulgar las matemáticas durante estos meses.

Problema de la semana (26): Problemas al sprint II

Para seguir con la saga de problemas al sprint, hoy voy a poner la segunda parte de la prueba, para el que lo quiera mirar.

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5. Si a,b,c son números positivos tales que $a > b > c$, que cumplen que:

a^3+b^4+b^5+c^6+c^7+c^8+c^9=2013

¿Cuál es el valor de a-b-c? (Nota: El resultado de este problema era el valor M que se proporcionaba al problema 3)

6. El lado AB está dividido en cinco partes iguales. Los puntos N y P se unen con el punto medio del lado BC, el punto E. ¿En qué razones queda dividida la diagonal AC por los dos segmentos dibujados? En concreto, se pide el valor de la razón del segmento central respecto la diagonal, es decir, \displaystyle \frac{RS}{AC}problema6

7. María, Antonio y Gabriel han participado en una carrera popular y han llegado a la meta en este orden. María ha llegado justamente en la posición mediana de los participantes. Entre María y Antonio han llegado tantas personas como por detrás que Gabriel. Más adelante que Antonio han llegado a la meta 2013 personas, y  entre Antonio y Gabriel han llegado a la meta K personas (Nota: K era la solución del problema 1, es decir 36). ¿Cuántas personas han participado en la carrera?

8. Sea f una función definida en los números reales que cumple f(2013) = 7 y, para todo valor de n, se cumple que:

\displaystyle f(n+1) = \frac{f(n)-1}{f(n)+1}.

Como el día de la prueba fue el 30 de enero, calcular f(30)

Solución al problema de la semana (25): Problemas al sprint I

Muy buenas, la verdad es que tengo esto un poco abandonado, la verdad es que entre que me he cambiado de ordenador, preparar clases y exámenes, y otras tareas ando liado como para actualizar esto.  De todas formas, la gente tampoco se anima a participar, así que da lo mismo que deje una semana o dos para responder.

Vamos a dar la respuesta a los cuatro primeros Problemas al sprint.

1. Tenemos 11 bolsas, todas ellas con el mismo número de bolas. De la primera bolsa sacamos un cierto número de bolas; de la segunda, sacamos el doble de bolas que de la primera; de la tercera, el triple que de la primera, y así sucesivamente. Después de esto, en la undécima bolsa quedan tres bolas y entre todas las bolsas quedan 2013 bolas en total. ¿Cuántas bolas hemos extraído de la primera bolsa?

Este problema costó un poco más de lo que pensábamos, ya que creíamos que al ser el primero sería sencillo. Si consideramos que sacamos x bolas de la primera urna, de la segunda sacamos 2x, y así sucesivamente, podemos ver que en total se han sacado 66x bolas.

Si consideramos que y es el número total de bolas, podemos concluir que y - 66x = 2013

Como en cada urna había el mismo número de bolas, podemos concluir que \displaystyle \frac{y}{11} - 11x = 3

A partir de aquí, podemos resolver el sistema y tenemos que x=36 y y=4389. Por lo tanto, hemos extraído 36 bolas.

2. En la figura se ve una estrella de 4 puntas. Los cuatro vértices exteriores de la estrella son los vértices de un cuadrado. Los cuatro vértices interiores de la estrella son los cuatro puntos situados sobre un círculo de centro en el centro del cuadrado, concretamente, en los extremos de diámetros paralelos a los lados del cuadrado.

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Si el área de la estrella es un tercio de la del cuadrado, y el lado del cuadrado mide 12 unidades, ¿cuál es el radio del círculo?

Este al principio costó, pero hubo una alumna que tuvo una idea brillante. Sabemos que el lado del cuadrado mide 12 unidades, por lo tanto el área es de 144. Así, el área blanca es de 96, y la estrella tiene un área de 48.

Dividiendo entre 4, cada triángulo tiene un área de 12. Como el área de un triángulo es 24, y la base es 12, podemos ver que la altura es de 4. Por lo tanto, el diámetro será 12-4-4=4, y el radio es 2.

3. Si f es una función definida en el conjunto de los números reales y que cumple que f(x\cdot y)=f(x+y), y además, sabemos que f(10)=M, ¿cuál es el valor de f(40)? (Nota: M es el valor que nos pasó el otro equipo que hacía el problema 5, pero para el problema se puede dejar en función de M)

Este problema salió rápido. La cuestión fue caer en que f(N) = f(N\cdot 1)=f(N+1), y por lo tanto, podemos ver que f(10)=f(11) = \dots = f(40). Por lo tanto, f(40)=M

4. ¿Cuál es la media aritmética de todos los números de la forma a +2b+3c+4d, si sabemos que abcd recorre el conjunto de las permutaciones de las cifras del número 2013? (Nota: Este problema viene porque este 2013 es el Año Internacional de la Estadística)

En total, tenemos 4!=24 permutaciones del número. Cada letra coge 6 veces cada uno de los 4 valores: 0, 1, 2 y 3. A partir de aquí, sumando todas las a, queda 36. Por lo tanto, la suma de a + 2b+ 3c + 4d en todas las permutaciones será $36 + 2 \cdot 36 + 3 \cdot 36 + 4 \cdot 36 = 360$. Y la media es \displaystyle \frac{360}{24} = 15

En un rato pongo los cuatro siguientes.

Problema de la semana (25): Problemas al sprint I

Muy buenas, las tres próximas entregas del problema de la semana estarán dedicadas a los Problemes a l’esprint, que tal y como os comenté en la última entrada, se celebraron el pasado 30 de enero y participamos con mis alumnos de 1º de Bachillerato. A continuación podéis ver en la web de Túrbula una reseña de la actividad que hicimos.

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La actividad consistió de 10 problemas, y unos problemas dependían de otros. En el colegio participamos con 18 alumnos, que distribuimos en dos equipos de 9, que a su vez estaban subdivididos en equipos de 3. Un equipo de 9 se encargó de 4 problemas, mientras el otro equipo se encargó de los otros 9. Finalmente, todos los alumnos se pusieron manos a la obra con los dos últimos problemas, aunque ya no le pudimos dedicar más tiempo a la actividad. Además, contamos con la colaboración de los profesores de Física y de Química, a los que agradezco su interés por la actividad.

La verdad es que fue un rato muy entretenido, donde todos los alumnos aportaron su granito de arena y consiguieron resolver problemas. La verdad es que al día siguiente estuvimos comentando sobre la satisfacción que produce resolver un problema.

Allá van los cuatro primeros problemas, llamados “de la rama de olivo”:

1. Tenemos 11 bolsas, todas ellas con el mismo número de bolas. De la primera bolsa sacamos un cierto número de bolas; de la segunda, sacamos el doble de bolas que de la primera; de la tercera, el triple que de la primera, y así sucesivamente. Después de esto, en la undécima bolsa quedan tres bolas y entre todas las bolsas quedan 2013 bolas en total. ¿Cuántas bolas hemos extraído de la primera bolsa?

2. En la figura se ve una estrella de 4 puntas. Los cuatro vértices exteriores de la estrella son los vértices de un cuadrado. Los cuatro vértices interiores de la estrella son los cuatro puntos situados sobre un círculo de centro en el centro del cuadrado, concretamente, en los extremos de diámetros paralelos a los lados del cuadrado.

problema2

Si el área de la estrella es un tercio de la del cuadrado, y el lado del cuadrado mide 12 unidades, ¿cuál es el radio del círculo?

3. Si f es una función definida en el conjunto de los números reales y que cumple que f(x+y)=f(x \cdot y), y además, sabemos que f(10)=M, ¿cuál es el valor de f(40)? (Nota: M es el valor que nos pasó el otro equipo que hacía el problema 5, pero para el problema se puede dejar en función de M)

4. ¿Cuál es la media aritmética de todos los números de la forma a + 2b + 3c + 4d, si sabemos que abcd recorre el conjunto de las permutaciones de las cifras del número 2013? (Nota: Este problema viene porque este 2013 es el Año Internacional de la Estadística)

Bueno, ahí lo dejo, espero que os gusten, y como siempre, podéis hacer comentarios para las soluciones. ¡Saludos!

Mañana, problemas al sprint

Muy buenas, alguno habrá detectado que aún no he publicado el problema de esta semana. La verdad es que tenía pensado un problema, pero he pensado dejarlo para otra ocasión. Aprovechando que esta semana será el problema número 25 (un cuadrado perfecto bastante bonito), haré una cosa un poco especial.

Y es que mañana, los alumnos de 1º de Bachillerato participarán en la 21ª edición de los Problemes a l’esprint, una actividad matemática en la que los alumnos, organizados por equipos, intentarán resolver problemas matemáticos de dificultad moderada. Son un tipo de problemas similares a los de las Proves Cangur, en las que participaremos con 35 alumnos de Escola Túrbula, pero aquí la diferencia está en que la participación es por equipos, mientras que en las Cangur se trata de participación individual.

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Mañana se celebrará la fase para Bachillerato (1º y 2º, aunque por motivos logísticos nosotros sólo lo haremos con 1º), y en los próximos meses se hace para otros cursos: 3º y 4º de ESO (en febrero), 1º y 2º de ESO (en marzo), y 6º de primaria (en abril). Felicito a la Societat Catalana de Matemàtiques por esta interesante iniciativa, que seguro que será algo gratificante para alumnos y profesores.

Así pues, en la edición 25 del problema de la semana incluiré los problemas que nos encontremos mañana. Aparte de ello, en las próximas semanas os comentaré otra interesante iniciativa en la que mis alumnos participarán.

¡Saludos!