Volviendo a una de las secciones de hace un tiempo, y aprovechando que se acerca la fiesta de Sant Jordi (aplazada a julio) paso a recomendar un libro que me ha gustado mucho, relacionado con las matemáticas.
Tengo muchos libros a recomendar, pero uno que me ha llamado especialmente la atención ha sido este del que hablo hoy. Además, se da la circunstancia de que es un libro que empecé a leer allá por el mes de marzo, pero que dejé en la sala de profesores del colegio justo cuando llegó el confinamiento, y no he podido acabarlo hasta hace poco.
El libro, La fórmula preferida del profesor, de la escritora japonesa Yoko Ogawa, relata la historia de un viejo profesor de matemáticas que ha sufrido un accidente y tiene un problema: su memoria dura exactamente 80 minutos. Su cuñada decide contratar una asistenta para que ayude al profesor con las tareas de la casa. Ella, junto con su hijo, ayudan al profesor a socializarse un poco más y a llevar mejor esta situación.
Yoko Ogawa, autora del libro
Si bien no es un libro especialmente matemático como lo pudiera ser El hombre que calculaba, al tratarse de un profesor de matemáticas se hacen muchas referencias a las matemáticas, como no podía ser de otra forma. Se habla de la fórmula de Euler, y numerosas referencias a temas de la teoría de números: curiosidades sobre los números primos, números amigos y perfectos, etc. Se hacen menciones, también, al último Teorema de Fermat y su demostración (cuando se escribió este libro, en 2003, la demostración era relativamente reciente).
Es una lectura muy amena y que ha recibido premios de sociedades matemáticas por su contribución a la divulgación. El entusiasmo del profesor, como en varias novelas de este estilo, hace ver las matemáticas desde una perspectiva más amena de lo que solemos encontrarnos en la escuela. En la edición de la que he puesto portada, las preciosas ilustraciones de Montse Marín Juárez acaban de completar esta obra.
Hoy, coincidiendo con los primeros días de curso, quiero comentar algo que considero muy interesante, y que uso como recurso didáctico para el primer día de clase, de manera que puedo ver cómo se defienden los alumnos mediante algo lógico y no estrictamente curricular. Y es que una buena manera de aprender es mediante el juego.
Y como habitualmente es difícil preparar este tipo de actividades por falta de material, vamos con lo más sencillo posible, que sería hacerlo con lápiz y papel. Si sabéis más juegos para usar en una clase, podéis ponerlos en los comentarios y por correo y lo añadiré.
Nim
Se puede hacer con cerillas, palillos, piedrecitas o bien con líneas que se vayan tachando o borrando. Consiste en distribuir una serie de rayas en varios renglones (habitualmente 3 o 4). La siguiente figura es un ejemplo de una posible distribución, pudiendo haber muchas alternativas:
Ejemplo de juego de Nim
En cada turno cada jugador puede retirar uno o más palillos, incluso todos, de la misma fila, pero no puede retirar palillos de líneas distintas. Gana el jugador que retira el último palillo.
Una variante más sencilla es el juego de La margarita, donde los palillos se distribuyen de forma circular y cada jugador retira uno o dos, hasta que gana el jugador que retira el último.
Este juego es muy interesante para pensar. En español se traduciría literalmente como «puntos y cajas», y de hecho es algo así. Empezamos con una distribución de puntos como la siguiente:
Distribución de 4×4 puntos
Cada jugador va uniendo puntos mediante segmentos horizontales o verticales. Por ejemplo:
Una vez se encierra un cuadrado, el jugador obtiene un punto, y vuelve a trazar una línea. Una vez completadas todas las líneas, gana el jugador que obtiene más puntos. Hay que ir con cuidado y ganar las zonas de mayor extensión.
En esta partida, por ejemplo, ahora jugaría el jugador azul y podría conseguir los seis cuadrados restantes, venciendo por 8-1. ¿Veis cómo?
Este juego es extraordinario por su sencillez pero en cambio tiene un gran contenido matemático detrás, que merecerá ser estudiado en otras entregas. Empezamos con un conjunto de puntos arbitrario pero pequeño (por ejemplo, tres):
Cada jugador trazará una línea que puede conectar dos puntos, o bien un punto consigo mismo. Una vez trazada se podrá dibujar un nuevo punto (brote) en ella. La línea ha de cumplir con las siguientes condiciones:
Puede ser recta o curva, pero nunca podrá cruzar otra línea ni a sí misma.
No puede pasar por otros puntos que no sean los extremos (inicio y fin).
En un punto no pueden incidir más de tres líneas. Cuando ocurre eso se dice que el brote está «muerto».
Gana el jugador que pueda realizar el último movimiento.
Primera jugada – APrimera jugada – B
Fijémonos que ahora ya hay un brote muerto, y otro del que sólo puede salir una línea.
Después de dos jugadas
Ahora ya queda muy poco margen porque la mayoría de brotes ya están muertos.
Tras tres jugadas
Ahora sólo queda un movimiento disponible, por lo que ganará el primer jugador.
Final de partida
Quedan dos brotes que no están muertos, pero es imposible conectarlos porque uno de ellos está encerrado.
Hex
Este juego es conocido porque fue inventado por el gran John Nash, premio Nobel de Economía en 1994 y protagonista de la película Una mente maravillosa.
En este juego hay una superficie hexagonal (de ahí el nombre), en el que dos jugadores intentan conectar dos extremos opuestos del tablero.
Tablero de Hex
Cada jugador rellena alternativamente una de las casillas, intentando conectar los dos bordes tal como se ha comentado. Gana el jugador que lo consigue.
Y por el momento lo dejaremos aquí. Hay muchos juegos interesantes para clase o para días de lluvia, y estos cuatro que hemos comentado aquí son muy interesantes a nivel matemático. Quizá posteriormente haremos una entrega explicando alguna cosa más de estos juegos.
Dejadme comentarios con otros juegos que encontréis interesantes o qué os ha parecido. O si lo preferís, enviadme un correo a elabacodemadera@gmail.com. ¡Saludos!
Prácticamente en los inicios de mi blog hablé de La sucesión de Fibonacci y los conejos. Os recomiendo encarecidamente visitar esta entrada del blog ya que trata de uno de los temas más interesantes que estudió Leonardo da Pisa, conocido como Fibonacci, en el siglo XIII.
La reproducción de los conejos según Fibonacci
No hablaré mucho del tema pero simplemente comentaré que Fibonacci se fijó en la reproducción de los conejos para obtener la siguiente sucesión:
Como habréis podido apreciar, cada elemento de esta sucesión se obtiene a partir de la suma de los dos elementos anteriores. Esto se puede definir de forma recursiva con esta fórmula:
A partir de la sucesión de Fibonacci podemos mirar qué ocurre con las proporciones entre dos números consecutivos, y observamos lo siguiente:
Si vamos observando, las diferentes expresiones se van acercando cada vez más a un valor cercano a 1.618. De hecho, el número al que se acercan es el que conoce como número áureo o número de oro que responde a la siguiente expresión:
Es un número irracional, es decir, que no se puede expresar como fracción de números enteros, o dicho de otra forma, que es un decimal no periódico. Sus primeros decimales son los siguientes:
Y todas las medidas que son proporcionales con esta razón, , se conocen como proporción áurea o divina proporción. Y esto es lo que se manifiesta en la reproducción de los conejos también aparece en otros aspectos de la naturaleza. Por ejemplo, en las espirales de un caracol nautilus cumplen que en cada parte las proporciones siguen las mismas que dos números de Fibonacci consecutivos:
Caracol nautilus
Y no es el único. Veamos por ejemplo en algunas flores:
En un girasol confluyen dos espirales áureas
¿Que no os parece suficiente? Pues vamos a pensar a lo grande:
Galaxia M51, también conocida como Remolino
Pero cuidado, ¡el número áureo puede aparecer en los lugares más insospechados!
¡Un Donald Trump cumpliendo la divina proporción!
Bueno, bromas aparte, la verdad es que se manifiesta en muchos más sitios de lo que parece… pero para no extenderme más lo dejo para posteriores entregas, en las que también hablaré un poco más de las propiedades numéricas del número de oro. ¡Espero que os guste!
Estaba buscando un tema para mi entrada número 100 (aunque este blog haya sido accidentado, con tantas paradas y arranques jejeje), y quería que el 100 fuese especial. Y reflexionando sobre diferentes temas, me he dado cuenta que no había hablado de uno de mis libros favoritos, y me parece mentira que no lo hubiese hecho aún. Así que vamos allá.
El libro se titula Planilandia (en inglés, Flatland), escrito por Edwin Abbott en 1884. Tal y como dice el título completo, Planilandia es una novela con muchas dimensiones. Sin querer destripar mucho el argumento, plantea cómo sería un mundo que en vez de tener tres dimensiones como el nuestro, fuera completamente plano, es decir, que sólo tuviera dos. Se muestran las dificultades que esto plantea y hace un dibujo de la sociedad que curiosamente y desgraciadamente es muy parecido al nuestro.
Edwin Abbott (1834-1926)
En la segunda parte de la novela, el personaje central de la historia, un cuadrado, viaja a otros mundos con diferentes dimensiones (Linealandia, Espaciolandia y mucho más), que recuerda mucho al dualismo platónico que se presenta en el Mito de la caverna. De la misma forma que el prisionero de la caverna queda estupefacto al conocer el mundo real, y no sólo las sombras que conocía antes, el cuadrado conoce mundos tridimensionales y de más dimensiones y no es capaz de creerlo ante el mundo que conocía hasta ese momento. Además de esta visión de un mundo de otras dimensiones, también es muy interesante la perspectiva de crítica social que se hace, ante unas clases muy estratificadas en la Inglaterra victoriana del siglo XIX.
Y lo mejor de todo esto es el contexto histórico en el que se sitúa esta novela: hace 130 años las matemáticas no estaban tan desarrolladas como ahora. Apenas se empezaba a hablar de geometría no euclidiana, faltaban muchos años para la teoría de la relatividad, ¡conceptos de dimensiones infinitas ya ni hablemos! Y además de todo eso, al contrario de lo que podríamos pensar, Abbott era un hombre «de letras»: especializado en teología, gramática, etc.
Una visión de Linealandia
Son 100 páginas de puro arte y una de mis mayores recomendaciones. Si lo leéis ya me daréis alguna reseña y me decís qué os parece. ¡Saludos!
Saludos a todos. La primera semana de colegio después de las vacaciones ha sido intensa, así que no le he podido dedicar mucho tiempo a este blog. ¡A ver si tengo más suerte en el futuro!
Cuando dejé el blog, dejé varias entradas a medias, pendientes de publicación porque las tenía a medias. Me ha parecido interesante seguir con esta, y la he estado completando.
– ¿Qué ocurre cuando x tiende a infinito? – Que infinito se seca.
A continuación, algunos chistes más. Algunos requieren de algún conocimiento matemático, otros no tanto…
Muy buenas, he decidido estrenar una nueva sección. A partir de ahora, el día 15 de cada mes os recomendaré una nueva lectura de algún libro relacionado con las matemáticas.
Y quería empezar con un libro clásico: El hombre que calculaba, de Julio César de Mello Souza (Malba Tahan)
Es un libro de matemáticas muy entretenido, y en cada pasaje aprenderemos alguna curiosidad matemática que nos dejará bastante impresionados. Se cuentan historias como la leyenda de la invención del ajedrez, el reparto de los camellos, las ocho perlas y otros acertijos en forma de cuentos, siguiendo un esquema similar a Las mil y una noches.
La dedicatoria inicial ya deja impactado:
A la memoria de los siete grandes geómetras cristianos o agnósticos: Descartes, Pascal, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Comte…(¡Alah se compadezca de esos infieles!)
Y a la memoria del inolvidable matemático, astrónomo y filósofo musulmán Abuchafar Moahmed Abenmusa AL-KARISMI… (¡Alah lo tenga en su gloria!)
Y también a todos los que estudian, enseñan o admiran la prodigiosa ciencia de las medidas, de las funciones, de los movimientos y de las fuerzas.
Yo “el-hadj” cherif Alí Iezid Izzy-Edin Ibn Salin Hank, MALBA TAHAN (creyente de Alah y de su santo profeta Mahoma), dedico estas páginas, sin valor, de leyenda y fantasía.
En Bagdad, a 19 lunas de Ramadán en 1321.
En definitiva, un libro muy recomendable para aquellos que queráis disfrutar de un buen libro de matemáticas sin excesivos tecnicismos. Espero que los que lo hayáis leído o lo leáis después de mi recomendación, me dejéis vuestro comentario.
Muy buenas, hoy voy a poneros otra pieza musical. Si alguna vez explicáis en clase el teorema de Tales, formulado por Tales de Mileto (siglo VI a.C.), deberíais poner esto, que puede ayudar a memorizarlo. El teorema es muy útil a la hora de trabajar con triángulos semejantes, y dice que si hay tres o más paralelas… mejor mirad el vídeo:
Impresionante, ¿verdad? Todas las ideas para recordar resultados matemáticos son buenas, como canciones o frases divertidas. ¿Sabéis alguno más? A continuación, para quien le interese, pongo la letra de la canción:
Muy buenas, aprovecho estos días que tengo tiempo para poner varios posts. Este vídeo lo vi hace unos días, con una animación con la factorización en números primos de todos los números. Aquí os muestro un vídeo con la factorización de 1 a 200.
Impresionante, ¿verdad? Esto lo han diseñado Stephen von Worley de Data Pointed. Si os interesa, aquí tenéis el programa, que sigue hasta mucho más adelante (lo he parado en el 2000 pero parece ser que sigue hasta 10000).
Mañana os pongo la solución al problema de la semana (y el problema de la semana siguiente). ¡Saludos!
Muy buenas, en mis clases estos días me ha tocado hablar del teorema de Pitágoras. Es, probablemente, el teorema matemático más conocido, dado que tiene gran cantidad de aplicaciones geométricas. Además, es el teorema más antiguo que se conoce, y aunque se le atribuye a Pitágoras de Samos (siglo VI a.C), probablemente ya lo conocían los egipcios hace 4000 años cuando construyeron las primeras pirámides.
Seguramente es el teorema que más demostraciones diferentes tiene, como veremos a continuación. Hay gente que hasta las colecciona, mostraré aquellas que me han resultado más interesantes o que han influido más durante el desarrollo de las matemáticas.
Primero, el enunciado del teorema, que seguramente todos conocéis:
«En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos».
En la figura que se adjunta, este teorema equivale a decir que el área del cuadrado azul es igual al área del cuadrado amarillo y el cuadrado verde juntas. Las demostraciones del teorema de Pitágoras más habituales consisten en probar este hecho.
A continuación, algunas demostraciones interesantes…