¡Hola a todos! Después de muchísimos intentos de volver a la actividad, donde la falta de tiempo (y más aún con la situación extraordinariamente grave de los últimos meses) lo ha hecho casi imposible, por fin vuelvo con un artículo (¡que tenía como borrador desde hace más de un año!). Espero escribir alguna cosilla más durante las vacaciones.

Hago una entrada como respuesta a una primera parte que escribí ya hace algún tiempo. De hecho, había recibido varios correos reclamándome la respuesta a esta primera parte. Mis disculpas por ello, y espero que os guste.

Bien, el tema era el siguiente. Tomábamos un cuadrado que tuviera longitud 1, y su diagonal era, por tanto, .

Decíamos que la diagonal medía , de acuerdo con el teorema de Pitágoras. Y si recorríamos los lados del cuadrado era 2, lógicamente. Haciendo líneas quebradas, veíamos que sumaban 2 de longitud (porque era lo mismo que recorrer dos lados del cuadrado.

Todas las líneas quebradas marrones tienen longitud 2, mientras que la diagonal, es decir, la línea que va desde A hasta C, sigue siendo . De aquí llegábamos a la conclusión de que al final la línea marrón y la negra se fundían en una sola y se llegaba a la paradoja de que .

Pues bien, el problema está precisamente en que nunca serán iguales estas dos líneas, aunque lo puedan parecer. Basta con ampliar la imagen para comprobar que seguirá siendo así, y tendríamos algo similar a la primera imagen ampliando mucho las otras. Dicho de otra forma, por muy pequeños que sean los triángulos marrones, siempre se recorrerá una longitud mayor por sus catetos que haciéndolo desde la hipotenusa. Si no fuese así, significaría que para cualquier triángulo rectángulo, la suma de sus catetos es igual a la hipotenusa, o sea , y y sabemos que es falso por el Teorema de Pitágoras. El problema viene porque el área comprendida entre la línea marrón y la diagonal cada vez es menor, y eso nos hace pensar que las líneas también serán iguales (pero no es así).

Visto de forma más analítica

Tenemos un cuadrado de longitud 1 y diagonal $latex  \displaystyle \sqrt{2}$. Si creamos una línea poligonal, como las del ejemplo, en n partes, tendremos triángulos rectángulos que tendrán como catetos y como hipotenusa .

Como en total hay n pares de catetos y n hipotenusas iguales, la línea poligonal marrón tendrá como longitud

En cambio, con las hipotenusas, .

Lo que pasa es que, como decía antes, lo que sí serán cada vez más pequeñas, y tienden a cero, son las sumas de las áreas de los triángulos que se forman. El área de un triángulo sería , y la suma total, por tanto, , y .

Otra «paradoja»

De una forma similar se puede construir otra paradoja. Tomemos un círculo de diámetro 1.  Su longitud es . Ahora, lo ponemos dentro de un cuadrado. Cada lado del cuadrado es 1, por lo tanto su perímetro es 4. Y de la misma forma que antes, vamos recortando las esquinas. Esto da lugar al siguiente meme que hace años que corre:

El problema vuelve a ser el mismo: el área comprendida entre línea quebrada y círculo es cada vez menor, pero ello no implica que las dos líneas sean iguales. Además, aquí podéis ver que a veces el tramo horizontal es mayor que el vertical, y en otras es al revés (cuando se acerca a las partes correspondientes a 0, 90, 180 o 270 grados).

¿El Teorema de Pitágoras es falso?

Un tercer ejemplo de este tipo de paradojas sería este triángulo:

Nosotros sabemos que esto es un triángulo rectángulo, por lo que si los catetos son 3 y 4, sabemos, por el Teorema de Pitágoras, que la hipotenusa es . De la misma forma, si hacemos rectángulos como en la imagen, podemos obtener difrentes caminos mediante líneas quebradas para unir el vértice superior y el vértice de la derecha. En cada una de estas líneas quebradas, la suma de todos los tramos verticales es 3 y la suma de los tramos horizontales es 4, por lo que la longitud total sería 7.

Si repetimos este experimento infinitamente, tenderíamos a pensar que este camino es igual a la hipotenusa, ¡pero no es así! El argumento es similar a los anteriores: las áreas comprendidas serán cada vez menores, pero las líneas no son iguales.

Espero que os haya gustado y en breve seguiré con más!

Mi entrada de hoy en el blog será algo diferente. Os voy a contar una anécdota personal y cómo se relaciona con las matemáticas.

Esta semana pasada me fui de viaje a Praga, una ciudad de las más bonitas que conozco, y muy recomendable de ver (era mi cuarta visita aunque la anterior ya fue hace más de 15 años). Decidí coger un libro para leer durante el viaje de ida en el avión (que además salió con casi una hora de retraso, que estuvimos dentro del avión), y el libro que había escogido fue Rebelión en la granja, de George Orwell, gran libro y que tenía muchas ganas de releer.

Pues bien, la curiosidad es que vi que la chica que se sentaba a mi lado en el avión también estaba leyendo Rebelión en la granja, aunque en este caso, una edición bilingüe inglés-checo. Y me puse a pensar: ¿cuál es la probabilidad de que la persona que esté a tu lado tenga el mismo libro?

Así pues, pensemos: por un lado, si miramos la probabilidad matemática puramente, sería de uno entre el número total de libros que existen, y podría parecer que es algo extraño o incluso místico. Pero hay que ser realistas: las casualidades no lo son tanto muchas veces, el problema es que no entendemos la probabilidad y que nos gusta creer en el destino.

Hay muchas variables que condicionan este resultado probabilístico: no coger un libro demasiado grande para llevar en la maleta, libro mundialmente conocido, y que podría haber habido coincidencias en otras muchas cosas: ropa, gustos musicales, nombre, etc. De hecho, la probabilidad de tener alguien conocido en común con la persona que tienes al lado de un avión ya es de un 1,5%.

A esto se le suma lo que se conoce como la Ley de los Grandes Números, que básicamente viene a decir que cualquier suceso, por improbable que sea, acaba sucediendo si se repite un experimento aleatorio suficientes veces. De esto ya hablamos en su día con las Martingalas para hacerse millonario.

Así pues, nos acordamos de un detalle concreto, como es tener al lado a una persona que lee el mismo libro que tú en un avión, pero no de todas las veces que vamos en el metro, tren, autobús, etc. y la persona de al lado está leyendo otro libro o haciendo otras cosas, y por eso, a esa cosa extraordinaria le damos un valor mágico cuando en realidad no lo tiene tanto.

En esto se basa la que se conoce como «Paradoja del cumpleaños», que quedará para otra entrada del blog.

De la misma forma, muchas veces conocemos a alguien y hablando vemos que tenemos algo en común o que conocemos a alguien en común. Esto suele parecer muy extraño pero en realidad, podemos tener muchas cosas parecidas que hacen más frecuentes estas casualidades: edad, aficiones, estudios, etc. Por todo ello, debemos relativizar las casualidades, aunque por mi parte, en algunos casos me seguirá gustando pensar que hay algo detrás de ellas.

El número del año en el que estamos, 2016 es un número que es muy interesante, por muchas razones. En realidad todos lo son, pero vamos a ver qué propiedades interesantes tiene el número 2016.

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Hoy es el primer día del año 2016, ¡feliz año nuevo! Os brindo mis mejores deseos para todos, con la esperanza de que problemas como las guerras, la hambruna del mundo, el paro, la corrupción sean menores en el próximo año.

Dicho esto, ayer planteé un pequeño reto, y recuerdo que era el siguiente:

Usando las cifras del año 2016, intentar formar los números naturales del 1 al 100. Están permitidas todas las operaciones matemáticas conocidas (suma, resta, multiplicación, división, potencia, raíz, factorial…) así como concatenar números. Por ejemplo, con el 2 y el 0, formar el 20.

ACTUALIZACIÓN: También se permite usar decimales, por ejemplo, 0.2 o incluso .2, sin poner el cero delante. También se permiten los decimales periódicos, por ejemplo, podemos escribir . No se permite, como me pedía alguno, usar funciones trigonométricas (más que nada, porque tendríamos que trabajar en radianes y no sé si nos serviría de mucho…)

ACTUALIZACIÓN 2: El doble factorial, , es el producto de los números de 1 a n que tengan la misma paridad que n. Por ejemplo, , o sea, que sólo hay los números impares. O por ejemplo, sería con los pares. De forma similar podríamos hacer el triple factorial, , con los múltiplos de 3.

Podéis enviarme vuestras soluciones a través de los comentarios o vía correo electrónico (lo tenéis a mano derecha). Haced clic en «Continuar leyendo» para ver las soluciones, lo iré actualizando progresivamente…

YA ESTÁN PUBLICADAS LAS SOLUCIONES DEL 1 AL 10. ¡SEGUID EN ELLO!

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